Grenzwertbeweis

05.05.2007, 17:57

beuteltier

Grenzwertbeweis

hallo
ich mache grade einen beweis und bräuchte als letzten schritt einen weg, um zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^n~\frac{k}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

ich gehe mal davon aus, dass es 0 ist, da sonst nicht stimmen würde, was ich beweisen will. da ich mich mit reihen nicht gut auskenne, weiss ich nicht, wie ich das zeigen soll. kann mir wer helfen?

05.05.2007, 18:00

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Da hast du falsch gedacht - der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

05.05.2007, 18:04

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \sum_k~\frac{k}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{k} ~ k \end{eqnarray*}$

Das sollte dir bekannt vorkommen ?! verwirrt

05.05.2007, 18:07

beuteltier

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hmm ja stimmt. falsch gedacht

05.05.2007, 18:12

beuteltier

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und wenn ich einen schritt zurückgehe und zeige, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~\frac{k-1}{n}*a_k = 0 \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_k \end{eqnarray*}$ konvergent?

wenn es zu schwer ist, dann lass ichs lieber

05.05.2007, 18:25

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Das stimmt jetzt zumindest.

Ob es schwer ist, hmmm ... kommt auf die Erfahrung an, die du mit solchen Aufgaben hast.

06.05.2007, 11:33

beuteltier

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ich hab so daran gedacht:
$\begin{eqnarray*} |\sum_{k=1}^n~\frac{k-1}{n}*a_k | \leq \sum_{k=1}^n~\frac{k-1}{n}*|a_k| \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_k \end{eqnarray*}$ konvergent, gibt es ein N, sodass $\begin{eqnarray*} |a_k| \leq \frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$ für k > N, denn 1/k divergiert, muss also majorante sein.

dann gilt für meine reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k-1}{n}*|a_k| \leq \sum_{k=1}^N~\frac{k-1}{n}*|a_k| + \sum_{k=N+1}^n~\frac{k-1}{n}*\frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$

die erste summe ist im limes 0, und .. naja die 2. ergibt 1, ok das hat nicht funktioniert. ich bin im 2. semester, mehr oder weniger blutiger anfänger. ich schätze der beweis ist komplizierter als das?

06.05.2007, 19:37

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Zitat:

Original von beuteltier
da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_k \end{eqnarray*}$ konvergent, gibt es ein N, sodass $\begin{eqnarray*} |a_k| \leq \frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$ für k > N,

Nein, das gibt es i.a. nicht - als Gegenbeispiel eine Leibnizreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

Eine andere Idee: Verwende die Partialsummen $\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{j=1}^k a_j \end{eqnarray*}$ deiner Reihe, dann kannst du nämlich $\begin{eqnarray*} a_k = s_k-s_{k-1} \end{eqnarray*}$ folgern (wobei zusätzlich $\begin{eqnarray*} s_0:=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt wird) und das in den Term

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n ~ \frac{k-1}{n} \cdot a_k \end{eqnarray*}$

mal einsetzen, vereinfachen und dann nutzen, dass $\begin{eqnarray*} (s_k) \end{eqnarray*}$ ja konvergiert...

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