halbseitige grenzwerte

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05.01.2005, 00:40	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
halbseitige grenzwerte hallo, ich muss bei dieser funktion die halbseitigen grenzwerte bestimmen, nur an einem punkt komme ich leider nicht weiter. die funktion lautet $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - cos x}{sin^2 x} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - cos x}{sin^2 x} \end{eqnarray}$ hierbei soll ich noch die additionstheoreme beachten. Ich hab mir das so überlegt $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - cos x}{sin^2 x}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{sin^2 x} - \frac{cos x}{sin^2 x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{sin x} \frac{1}{sin x} - \frac{cos x}{sin x} * \frac{cos x}{sin x} \end{eqnarray*}$ klar würde ich bis dahin das auch mit dem linksseitigen grenzwert machen, aber leider komme ich hier absolut nicht weiter und ich weiss auch nicht, ob ich hier weiter hin das limes mit aufschreiben soll. Wäre echt dankbar für eure tipps
05.01.2005, 00:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweitere den Bruch mit 1 + cos x und verwende 1 - cos²x = sin²x. Dann steht es schon da. Eine Fallunterscheidung nach linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert ist dann überflüssig.
05.01.2005, 00:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: halbseitige grenzwerte $\begin{eqnarray} \frac{1-\cos(x)}{\sin^2(x)}=\frac{1-\cos(x)}{1-\cos^2(x)} \end{eqnarray}$ Im Nenner ne binomische Formel anwenden.
05.01.2005, 01:17	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
würde das hier rauskommen? $\begin{eqnarray} = \frac{1}{sin x} \frac{1}{sin x} - \frac{cos x}{sin x} * \frac{cos x}{sin x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1 + cos x}{sin x} * \frac{1 + cos x}{sin x} - \frac{sin^2 x}{sin^2 x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1 + 2cos x + cos^2 x}{sin^2 x} - \frac{sin^2x}{sin^2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (\frac{1 + cosx}{sinx} )^2 \end{eqnarray*}$
05.01.2005, 01:34	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wus?! hast du dir MSS Beitrag durchgelesen? sein Tip ist doch einwandfrei und leicht verständlich..... mfg jochen
05.01.2005, 01:50	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, nein ich hab mir den Tipp von Leopold angeguck, mit dem von MSS kann ich leider nicht ganz viel anfangen. ist es denn falsch was ich gerechnet habe? was soll ich denn beim MSS vorschlag machen
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05.01.2005, 01:52	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1-cos(x)}{1-cos^2(x)} =\frac{1-cos(x)}{(1-cos(x)){(1+cos(x))}} \end{eqnarray*}$
05.01.2005, 01:56	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ist für x=0 (für alle x=k*pi mit k aus Z) immer noch nicht definiert, aber für x<>0, x geegn 0 gilt cos(x)-1<>0, also kannst du kürzen. und danach isses wohl einfach. mfg jochen
05.01.2005, 02:04	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das also kürze, bekomme ich raus $\begin{eqnarray} \frac{1}{1 + cos x} \end{eqnarray}$ cos x strebt doch gegen 0 oder und ich muss hier die oben genannten halbseitiegn grenzwerte bestimmen. 1 durch 0 darf ich ja nicht teilen. was wäre denn dann mein grenzwert?
05.01.2005, 02:14	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
für x gegen 0 strebt 1+cos(x) nicht gegen 0. einfach noch mal nachrechnen. [und wenn du als grenzwert mal 1/0 bekommen würdest, so würde dieser grenzwert nicht in IR existieren, wäre nämlich unendlich; in der ausgangsdarstellung hattest du eben als grenzwert 0/0 und das konnte nicht bestimmt werden; ich hoffe du hast das beachtet und erkennst den unterschied mfg jochen
05.01.2005, 02:21	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
es tut mir leid, hilf mir doch bitte auf die sprünge, ich komme einfach nicht drauf. wäre das richtig, dass $\begin{eqnarray} 0^+ --> 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0^- --> \infty \end{eqnarray}$ hilf mir bitte auf die sprünge
05.01.2005, 02:29	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du denn da drauf? was ist denn cos(0)?
05.01.2005, 02:53	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
cos (0) ist 1, aber was sagt es mir? ich hab langsam keine ideen mehr.
05.01.2005, 03:01	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist denn der grenzwert von 1+cos(x) für x gegen 0? und dann kannst ja für x gegen 0 auch 1/(1+cos(x)) berechnen..... der zähler bleibt konstant 1 und der nenner nähert sich der zahl..... na?! mfg jochen
05.01.2005, 03:41	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
strebt dann $\begin{eqnarray} 0^+ --> 0,5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0^- --> 0,5 \end{eqnarray}$ auch?
05.01.2005, 03:57	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann wollte ich noch fragen, ob das jetzt hier auch nach additionstheoreme geht, denn das wird in der aufgabe verlangt, ICh hoffe, ich habe das jetzt richtig.
05.01.2005, 08:28	Hallo	Auf diesen Beitrag antworten »
morgen leute, was sagt ihr zu meinem ergebnis?
05.01.2005, 09:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
0,5 ist richtig. Und sin²x + cos²x = 1 (woraus ja 1 - cos²x = sin²x folgt) wird bisweilen unter die Additionstheoreme eingeordnet, obwohl die Bezeichnung trigonometrischer Pythagoras treffender ist.

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