extremwertaufgabe mit einer parabel

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Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »
extremwertaufgabe mit einer parabel
hallo.
ich schreibe jetzt einfach mal die aufgabe auf, weiß nicht so recht, was ich dazu sagen soll:

gegeben ist die normalparabel. ein zur y-achse paralleler streifen der breite 2LE wandert auf der x-achse entlang und schneidet die parabel in zwei punkten A und B. verbindet man diese punkte, so scheidet die verbindungslinie ein stück von der parabel ab.
in welcher position des streifens ist die fläche dieses stück am größten?

so. jetzt weiß ich nicht so wirklich was ich damit anfangen kann. ich stelle mir das soll. wahrscheinlich ist es irgendwas mit integralen, oder? und was ich mir auch überlegt habe, die pinkte müssen ja am besten gegenüber lieger, und wenn ich die aufgabe richtig verstehe, wäre das der fall, wenn der streifen mit seiner mitte auf (0|0) stehen würde... oder allgemein, dass es sich in dem bereich -2 bis 2 so abspielt...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

extremwertaufgabe...
hast du dir schon eine skizze gemacht?

im endeffekt läuft es auf folgendes raus, wobei das mit dem streifen anschaulich sein soll. für einen gewählten x-wert (sei u) wird von der parabel ein stück abgeschnitten, wenn du eine gerade durch die punkte (u|u²) und (u+2|(u+2)²) zeichnest. dieser soll maximal werden.

jetzt überlegst du dir erstmal, was für diesen flächeninhalt allgemein gilt (in abhängigkeit von u) und dann flächenabschnittsfunktion(u) aufstellen und maximum suchen.
am ende randbetrachtung nicht vergessen!

kommst weiter?
mfg jochen
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

hm... vielleicht jetzt die funktion der verbindungslinie bestimmen, darüber integrieren, minus das integral der parabel in den grenzen u und u+2? was besseres fällt mir im moment auch nicht ein...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jo, das ist ja auch gut.
an der skizze erkennst du wunderbar: gesuchte fläche (u) = (fläche unter gerade von u bis u+2) - (fläche unter der parabel von u bis u+2)
ob du dazu über der geraden integrieren musst, oder ob du diesen flächeninhalt evtl. auch einfacher bestimmen kannst (Augenzwinkern ) liegt bei dir.
über der parabel wirst du integrieren müssen, aber das ist ja nicht schwer!

also voran! rest schaffst du!

mfg jochen
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

hey lass mich nicht hängen! smile
ich hab mir schon gedacht, dass es einen anderen weg gibt, die fläche unter eine geraden rauszufinden... aber ich komm jetzt absolut nicht drauf, wie...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ohne kommentar

arithmetisches mittel aus den funktionswerten der beiden randwerte mal die intervallbreite.
in deinem fall also 2*(u+1)

mfg jochen

das war hoffentlich ein scherz, ansonsten würde ich auf die späte uhrzeit tippen smile
 
 
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

das haben wir noch nicht gemacht... glube ich. zumindest sagt mir jetzt der begriff "arithmetisches mittel" nichts, habe in der formelsammlung nachgeschlagen, da steht es bei der "häufigkeitsverteilung einer datenreihe". und ich kann mich nicht erinnern sowas mal gemacht zu haben.... worunter müsste ich denn deine formel suchen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

arithmetisches mittel zweier zahlen a und b ist: (a+b)/2
aritmetisches mittel von drei zahlen a,b und c ist: (a+b+c)/3
usf.

ich habe da mal ein bild gemacht, vielleicht hilfts dir ja weiter...

ist vielleicht etwas klein geraten aber man sieht:
2*grüne fläche=(f(a)+f(b))*(b-a)=0,5*(f(a)+f(b))*(b-a)=arithmetisches mittel der funktionswerte*intervallbreite

mfg jochen
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

hast da zwar das gleichheitszeichen vergewaltigt, aber ich habs verstanden smile
dankeschön. habe grade auch versucht, mir die funktion herzuleiten, aber bin nur auf (u+2)² gekommen... habs aber auch ein bisschen anders gemacht, habe die schnittpunkte als schräg gegenüberliegende punkte in einem rechteck definiert und so gerechnet:



aber irgendwie kommt das auf u²+4u+4 raus, also: (u+2)²...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, letzter post, dann ruft mein bett. bin langsam müde... und werde vor allem unkonzentriert....
Zitat:
in deinem fall also 2*(u+1)

da war ich schon unaufmerksam, das ist natürlich nur richtig, wenn die gerade die erste winkelhalbierende ist Augenzwinkern , hier isses falsch. ich habe die x-werte statt den funktionswerten genommen....

zu deinem ansatz:
was ist das jetzt?! verstehe nicht ganz was du da machst?
ist das deine fertige funktion oder nur der bereich unter der geraden?!

also nochmal als tip: gehe ganz schritt für schritt vor.....
was benötigst du denn, um den "grünen" Flächeninhalt zu berechnen?!
eigentlich nur die funktionswerte (nenne diese mal f(...) ) von a und b, diese liegen aber auf der parabel.... also hast du a=u, f(a)=u², b=u+2, f(b)=..... ?
intervallbreite b-a=2. klar.

grüne fläche = 0,5*(f(a)+f(b))*2=f(a)+f(b)

das musst jetzt noch ausrechnen und anschließend die fläche unter der parabel in abhängigkeit von u bestimmen (u und u+2 sind dabei die intervallgrenzen).

viel erfolg noch, werde morgen (früh?!) noch mal vorbeischauen, um zu sehen, was du gemacht hast.

gute nacht, jochen


ps: welches gleichheitszeichen habe ich vergewaltigt?!
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

das hier:
Zitat:
Original von LOED
2*grüne fläche=(f(a)+f(b))*(b-a)=0,5*(f(a)+f(b))*(b-a)...


da hast du ja durch 2 geteilt nach dem zweiten gleichheitszeichen, und dann müsste ja auch die 2 vor "grüne fläche" weg smile

aber ist ja auch egal.
also meinen ansatz habe ich so gedacht:

intervallbreite * äußere seite des rechtecks, also: 2 * (u-2)²
damit hätte ich jetzt ein großes rechteck.
das dann minus das, was zu viel ist, also:
intervallbreite * (äußere seite - innere seite)/2
das ist das kleine rechteck in dem großen rechteck. sorry, weiß nicht wie ich das anderes erklären soll smile jedenfalls ist die formel komisch...

nach deiner rechnung ist also die fläche unter geraden
2(u+1)², oder?

und wie bestimme ich denn die fläche unter der parabel in abhängigkeit von u?
also ich hätts jetzt so gemacht:









das sieht jetzt aber irgendwie nicht so nach einer flächenfunktion aus.... traurig
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nach deiner rechnung ist also die fläche unter geraden
2(u+1)², oder?


ne sie ist 0,5*(f(u)+f(u+2))*(u+2-u)=f(u)+f(u+2)=u²+(u+2)²=....

die hintere funktion unter der parabel habe ich mal schnell genauso ausgerechnet (wenn ich mich denn nicht bei (u+2)³ verrechnet habe, sollte das stimmen).
also rechne das ganze nochmal nach.

mfg jochen
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »








...wo ist der fehler?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

(u+1)²=u²+2u+1, nicht +2!
da liegt der hund begraben!

mfg jochen
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

o... ok, das war ein blöder fehler smile

aber habe trotzdem mit der form 2u² + 4u + 4 gerechnet...

also ich schreib jetzt mal den ganzen lösungsweg auf:

















bitte schlagt mich... da ist bestimmt so ein blöder fehler wieder drin...
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

ist das etwa doch richtig...?
könnte es vielleicht sein, dass die fläche immer gleich ist?

hilfööö? Hilfe
was hab ich denn da jetzt falsch gemacht? oder ist das richtig so?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte unterlasse solche "Pushposts"!! (MSS)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bissl geduld brauchst du schon, millhouse.
freue dich etwas über diese intensivberatung, aber auch ich muss mal was für die uni tun... (stochastik 1...)

ich muss sagen, wenn da jetzt bei uns beiden keine kleinen versteckten fehler mehr drin sind, dann ist das so richtig (also die fläche unter der geraden habe ich so berechnet und die unter der parabel auch).
dann ist der flächeninhalt tatsächlich konstant.
wäre doch eine schöne lösung.
im kopf über schlagen ergibt, das stimmt für u=-1... das stimmt auch für u=0.... dann vermute ich mal, wir haben wirklich richtig gerechnet.
ja der flächeninhalt ist also konstant 4/3.

mfg jochen
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

ja sorry, hab etwas panik gekriegt, weil ab montag die schule wieder anfängt und es gibt noch nen haufen arbeit, weiß garnicht wie ich das alles schaffen soll, arbeite schon tag und nach daran.... tut mir leid.

naja, da ich mal kaum glaube, dass ein mathe-student sich da verrechnet hat, nehme ich mal an, das ist richtig so.

also ich bedanke mich sehr für die hilfe, und ich denke den rest kriege ich jetzt wirklich alleine gebacken smile

danke nochmal für die mühe Wink
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Millhouse
ja sorry, hab etwas panik gekriegt, weil ab montag die schule wieder anfängt und es gibt noch nen haufen arbeit, weiß garnicht wie ich das alles schaffen soll, arbeite schon tag und nach daran.... tut mir leid.

naja, da ich mal kaum glaube, dass ein mathe-student sich da verrechnet hat, nehme ich mal an, das ist richtig so.

also ich bedanke mich sehr für die hilfe, und ich denke den rest kriege ich jetzt wirklich alleine gebacken smile

danke nochmal für die mühe Wink


gern geschehen, hoffe du hast auch was gelernt dabei.
und merk dir das: das erste, was man an der uni verlernt, ist rechnen Augenzwinkern .

mfg jochen
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