Stammfunktion gesucht

Neue Frage »

05.01.2005, 10:40	ThorB	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion gesucht Bei diesen unbestimmten Integralen suche ich die Stammfunktion und brauche da etwas hilfe $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^3(x)~dx \end{eqnarray}$ als erstes zerlege ich dieses Integral in u(x)= cos^3 v`(x)= x --> u`(x)= ? v (x)= 1 wie geht es weiter
05.01.2005, 11:00	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion gesucht Schreibe es als $\begin{eqnarray} \int \cos(x)\cdot\cos^2(x)dx \end{eqnarray}$ und integriere partiell mit $\begin{eqnarray} f'=\cos(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g=\cos^2(x) \end{eqnarray}$ . Im Restintegral ersetzt du dann $\begin{eqnarray} \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{eqnarray}$ . Danach ist es nur noch ein kleiner Schritt zur Lösung
05.01.2005, 12:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst das Vorgehen verallgemeinern und $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\cos^n{x}~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\cos^{n-2}{x}~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ zurückführen.
05.01.2005, 14:46	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
@calvin ich habe jetzt mal versucht die Partielle Int. anzuwenden mit uv´ - int( u´v ) u= cos^2(x) v´= cos(x) u´= ????? v = sin(x) jetzt weiß ich schon nicht weiter, ich benötige doch jetzt noch u´ @LEOPOLD was meinst Du mit zurückführen ? so doch bestimmt nicht? cos^3(x) = cos^1(x)
05.01.2005, 14:57	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
u' kann man auf 2 Arten bestimmen. 1) Kettenregel äußere Funktion: f(g)=g^2 innere Funktion: g(x)=cos(x) 2) Produktregel u(x)=cos(x)*cos(x)
05.01.2005, 15:41	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
wie dumm, habe gerade das Integrieren und Differenzieren verwechselt ich habe jetzt u´= -2 * cos(x) * sin(x) das habe ich jetzt raus $\begin{eqnarray} cos^{2}(x) sin(x) - \int_{}^{}~ -2 * cos(x) * sin^{2}(x) ~dx \end{eqnarray}$ und nun muß ich ja wiederum die Stammfunktion von -2 cos(x)*sin^2(x) finden Ist das soweit erstmal richtig?? Mir kommt es so vor als wenn das Problem immer größer wird, je länger ich an dieser Formel herumbastele.
Anzeige

05.01.2005, 15:54	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersetze im letzten Integral $\begin{eqnarray} \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{eqnarray}$ und ziehe die Integrale auseinander. Bei Gelegenheit kannst du auch noch die -2 aus dem Integral ziehen.
05.01.2005, 16:03	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
da habe ich auch schon gemacht, aber ich kann doch die Integrale nicht einfach auseinanderziehen? Das geht doch nur mit differenzen und Summen aber nicht mit Produkten?
05.01.2005, 16:05	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann multipliziere einfach aus damit du eine Differenz hast
05.01.2005, 16:14	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
...da ist der Wurm drin $\begin{eqnarray} -2 \int_{}^{}~ cos(x) * (1-cos^{2}(x))~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -2* \int_{}^{}~ cos(x) - \int_{}^{}~cos^{3}(x)~dx \end{eqnarray*}$ jetzt habe ich doch wieder cos^3(x)
05.01.2005, 16:19	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -2 \int_{}^{}~cos^{3}(x)~dx \end{eqnarray*}$ ja, aber dieses Integral kannst du auf die linke Seite schieben. Schreibe das ganze vollständig hin, beachte die Vorzeichen und dass der Faktor 2 vor beide Integrale gehört.
05.01.2005, 17:17	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
ja gut, dann lautet das ganze also: $\begin{eqnarray} cos^{2}(x)sin(x) + 2 * \int_{}^{}~cos(x)~dx + 2* \int_{}^{}~cos^{3}(x)~dx \end{eqnarray}$ das Integral mit dem cos^3 schiebe ich jetzt auf die linke Seite $\begin{eqnarray} - 2* \int_{}^{}~cos^{3}(x)~dx = cos^{2}(x)sin(x) + 2 \int_{}^{}~cos(x)~dx \end{eqnarray}$ das Teile ich durch -2 und erhalte $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^{3}(x)~dx = -1/2* cos^{2}(x)sin(x) - \int_{}^{}~cos(x)~dx \end{eqnarray}$ und beseitige jetzt noch das Integral $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^{3}(x)~dx = -1/2 cos^{2}(x)sin(x) - sin(x)~dx \end{eqnarray}$
05.01.2005, 17:34	AoG	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! wie kommst du auf $\begin{eqnarray} + 2 \int_{}^{}~cos^3(x)~dx \end{eqnarray}$ müsste das nicht $\begin{eqnarray} - 2* \int_{}^{}~cos^3(x)~dx \end{eqnarray}$ lauten und dann $\begin{eqnarray} 3\int_{}^{}~cos^3(x)~dx = cos^2(x)sin(x)+2\int_{}^{}~cos(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3\int_{}^{}~cos^3(x)~dx = cos^2(x)sin(x)+2sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^3(x)~dx = \frac{cos^2(x)sin(x)+2sin(x)}{3} \end{eqnarray}$ naja und wenn dich das $\begin{eqnarray} cos^2(x) \end{eqnarray}$ noch stört dann: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^3(x)~dx = \frac{(1-sin^2(x))sin(x)+2sin(x)}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^3(x)~dx = \frac{sin(x)-sin^3(x)+2sin(x)}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^3(x)~dx = \frac{3sin(x)-sin^3(x)}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^3(x)~dx = sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3} \end{eqnarray*}$ So, und das stimmt dann auch mit der Lösung von MuPAD überein, wahnsinn wie dieses Programm darauf kommt. Gruß AoG
05.01.2005, 17:46	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo habe das Ausmultipliziert $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~ -2 cos(x) * ( 1- cos^{2}(x) ) dx \end{eqnarray}$ so: -2cos(x) * 1 + -2* cos(x) * -cos^2(x)
05.01.2005, 18:07	AoG	Auf diesen Beitrag antworten »
look nach oben $\begin{eqnarray} -\int_{}^{}~-2 cos(x)(1-cos^2(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\int_{}^{}~-2 cos(x)- cos^3(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +2\int_{}^{}~cos(x)- cos^3(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +2\int_{}^{}~cos(x) -2* \int_{}^{}~cos^3(x) \end{eqnarray*}$ oder ?
05.01.2005, 18:16	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
wo kommt denn da oben die 3 her??
05.01.2005, 18:44	AoG	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos^3(x)~dx + 2 \int_{}^{}~cos^3(x)~dx= cos^2(x)sin(x)+2\int_{}^{}~cos(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3\int_{}^{}~cos^3(x)~dx = cos^2(x)sin(x)+2\int_{}^{}~cos(x)~dx \end{eqnarray}$ klar?
05.01.2005, 18:50	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs ,nicht zu glauben!!! Habe nochmal ganz von Anfang angefangen, und auf einmal gehts auf. Den halben Tag an der selben Aufgabe rumgespielt, ich glaube ich brauche erstmal Urlaub! Danke und einmal Popcorn für alle

Neue Frage »

Antworten »

Stammfunktion gesucht

Verwandte Themen