Möbiusband

05.05.2007, 19:49

Transformer

Möbiusband

Guten Abend!

Gegeben ist das Möbiusband $\begin{eqnarray*} M:= [-1,1] \times [0,1] / \alpha \end{eqnarray*}$ (d.h. $\begin{eqnarray*} \alpha (x) = -x \text{ für } x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} \pi : [-1,1] \times [0,1] \to M \end{eqnarray*}$ die Projektion und $\begin{eqnarray*} \partial M := \pi( \{-1\} \times [0,1] \cup \{1\} \times [0,1] ) \end{eqnarray*}$ der Rand von M.

Man soll nun zeigen, dass der Rand homöomorph zu $\begin{eqnarray*} S^{1} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich muss also zeigen, dass es eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \phi : \partial M \to S^{1} \end{eqnarray*}$ exisitiert, wobei sie (und ihre Umkehrabb.) stetig und bijektiv sein müssen.

Wie mache ich das??? Für Hilfe würde ich mich wirklich freuen smile

06.05.2007, 13:38

Abakus

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RE: Möbiusband

Zitat:

Original von Transformer
Gegeben ist das Möbiusband $\begin{eqnarray*} M:= [-1,1] \times [0,1] / \alpha \end{eqnarray*}$ (d.h. $\begin{eqnarray*} \alpha (x) = -x \text{ für } x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ )

Ich verstehe deine Definition nicht, was soll das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ da bezwecken und worauf bezieht sich das ?

Grüße Abakus smile

06.05.2007, 14:06

Transformer

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Das ist leider nicht "meine" Definition, ich hab das 1:1 aus der Aufgabenstellung gepostet und leider versteh ich diese Definition auch nicht.

Es ist wohl irgendwie ein Quotientenraum, aber ich hab keine Ahnung was es mit dem $\begin{eqnarray*} \alpha(x) = -x \text{ für } x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ auf sich hat.

Grüße Transformer

06.05.2007, 19:27

Abakus

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Zitat:

Original von Transformer
Es ist wohl irgendwie ein Quotientenraum, aber ich hab keine Ahnung was es mit dem $\begin{eqnarray*} \alpha(x) = -x \text{ für } x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ auf sich hat.

Das Stichwort lautet hier "Verkleben von Räumen". Dazu sollte es in eurem Skript oder dem Aufgabenzettel ggf. eine Definition geben. Die brauchen wir.

Anschaulich lässt sich zwar vermuten, dass die beiden Ränder hier umgekehrt zusammengefügt werden, aber das müsste man mal exakt sehen.

Grüße Abakus smile

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