Lösen von DGL mit Potenzreihenansatz

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05.01.2005, 14:58	Hirnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen von DGL mit Potenzreihenansatz Hallo, befinde mich gerade in Vorbereitung der Matheklausur und soll eine DGL mit Hilfe von einem Potenzreihenansatz lösen. Das Prinzip davon ist eigentlich klar(glaube ich): 1. Ansatz finden. 2. Einsetzten in die DGL 3. Ausrechnen Jedoch habe ich probleme mit Punkt eins... Wie kann ich den Ansatz finden ? Kann ja nicht immer der gleiche sein, oder ? Ist bestimmt aufgabenabhängig. Sorry, habe aber noch keine Beispiele gefunden die mir das richtig erklären... Hier mal eine Beispielaufgabe mit Lösungsansatz : $\begin{eqnarray} y'+2xy-2x^{2}-1 = 0 \end{eqnarray}$ Lösungsansatz : $\begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^\infty~ a_{n}x^{n} \end{eqnarray}$ Wie kommt der gute Mann jetzt auf den Ansatz ??? Danke für jede Hilfe ! Gruß Jochen
05.01.2005, 15:16	Hirnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, das es doch immer der gleiche Ansatz ist ? Nämlich allgemein : $\begin{eqnarray} y= \sum_{n=1}^\infty ~ a_{n} \cdot (x- x_{0})^{n} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ den Entwicklungspunkt darstellt ?? Gruß Jochen
05.01.2005, 15:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es ist eben ein einfacher Potenzreihenansatz um den Punkt x_0, also nichts Ungewöhnliches. Allerdings würde ich bei dieser speziellen Dgl den "normalen" Weg beschreiten - aber wenn du es über Potenzreihe lösen sollst, dann Ok.
05.01.2005, 15:23	Hirnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber irgendwie komm ich vom allgemeinen Ansatz nicht auf diesen Speziellen... Kann ja sein das ich gerade irgendwie hänge aber ich komm überhaupt nich drauf... Gruß Jochen
05.01.2005, 15:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Potenzreihenansatz (Konvergenz wird zunächst angenommen und nachträglich am Resultat gerechtfertigt) differenzierst du zunächst die Reihe gliedweise. Dann setzt du die Reihendarstellungen von y und y' in deine Dgl ein und machst schließlich einen Koeffizientenvergleich - damit kriegst du dann (hoffentlich) alle a_n.
05.01.2005, 15:40	Hirnie	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmh... Das ist mir schon relativ klar, aber wie komme ich von : $\begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^n~a_{n} \cdot (x - x{o})^n \end{eqnarray}$ nach : $\begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^n~a_{n} \cdot x^n \end{eqnarray}$ mit Entwicklunspunkt $\begin{eqnarray} y(1) = 1 \end{eqnarray}$ Ich häng da total... Sorry, aber ich seh das irgendwie nich... Gruß Jochen
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05.01.2005, 15:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt x_0=1 und bleibst bei $\begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^{\infty}~a_{n} \cdot (x - 1)^n \end{eqnarray}$ , also nicht ausmultiplizieren!!! Die Darstellung $\begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^{\infty}~a_{n} \cdot x^n \end{eqnarray}$ ist nur der Spezialfall einer Entwicklung um x_0=0. EDIT: Oberer Summenindex korrigiert (unendlich)!
05.01.2005, 15:52	Hirnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau diesen Spezielfall verstehe ich nicht wirklich... Das $\begin{eqnarray} y=\sum_{n=0}^n~a_{n} \cdot (x-1)^n \end{eqnarray}$ versteh ich noch. Aber wo kommt den dieser Spezialfall her ?? da könnt ich gerade Gruß
05.01.2005, 16:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, welches Problem hast du denn mit dieser Darstellung? Die Entwicklung um x_0=1 lautet $\begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^{\infty}~a_{n} \cdot (x - 1)^n \end{eqnarray}$ und die Entwicklung um x_0=0 lautet eben $\begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^{\infty}~b_{n} \cdot (x-0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}~b_{n} \cdot x^n \end{eqnarray}$ . Natürlich sind die Koeffizientenfolgen (a_n) und (b_n) beider Entwicklungen voneinander verschieden! (Vielleicht war das dein Problem.) EDIT: Ich seh grade, dass ich versehentlich immer bis n statt unendlich summiert habe - Entschuldigung! Hoffentlich habe ich nicht damit das Chaos angerichtet. Ich korrigiere jetzt auch meine früheren Posts.

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