Legendre-Polynome

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pfnuesel Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre-Polynome
Hallo im neuen Jahr. Ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen:

Wir definieren die Legendre-Polynome , durch



(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom vom Grad mit verschiedenen Nullstellen in ist.



Leider fehlt mir hier völlig der Ansatz. Wie ist das zu beweisen? Mit vollständiger Induktion? Leider komme ich aber so nicht weit...
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Legendre-Polynome
Dass der Grad des Polynoms n ist, ist relativ einfach zu beweisen:
Bestimme den Grad des Polynoms (x²-1)^n und beachte, dass jede Ableitung den Polynomgrad um Eins herabsetzt.

Der zweite Teil ist weit schwieriger - dazu eine Frage:

Darfst du die Orthogonalität der Legendre-Polynome, also



für verschiedene m, n nutzen?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schau hier.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet denn das , also das n in Klammern? verwirrt

edit: Achso, n-te Ableitung also. War grad wohl n bißchen blockiert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

n-malige Differentiation
pfnuesel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Legendre-Polynome
Also danke erstmals für die Antworten. Die "Orthogonalität der Legendre-Polynome" darf ich wohl noch nicht verwenden, da wir noch nicht bei der Integralrechnung angelangt sind.

Den Link habe ich nur kurz überflogen, vielleicht hilft der ja weiter - aber erst morgen, heute ist zu spät! Augenzwinkern
jol2040 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Also ich sitz jetzt auch vor der Aufgabe, die Existenz dieser (genau) n (paarweise verschiedene) Nullstellen zu beweisen und wollte da mal den Thread wiederbeleben.
Also bei uns ist das so definiert: . Nun könnte man ja versuchen, eine Induktion zu machen, der Induktionsschritt macht keine weiteren Probleme und dann den Schritt , man könnte ja schreiben und von weiß man dann ja schon die n Nullstellen, wie könnte man dann argumentieren, dass eine mehr hat? Und das die verschieden von den bisherigen ist?
Also was mir dazu noch einfällt, zwischen den Nullstellen wird die Ableitung null, d.h. für n-1 Nullstellen der Ableitung bekommt man n Nullstellen der eigentlichen Funktion. Das heißt man müsste 2 neue Nullstellen finden, die immer noch zwischen -1 und 1 liegen. Das wäre dann ja die eigentliche Arbeit, aber ja wie setzt man da an?

Oder ist das mit der Induktion doch nicht so sinnvoll?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

benutze den Satz von Rolle.


Verschoben


Desweiteren grabe bitte keine uralten Threads aus, sondern eröffne einen Neuen.
jol2040 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, damit probier ichs nachher mal, danke erstmal.
Ich dachte es wäre für die Boardstruktur eher erwünscht, wenn man nicht immer gleich was neues aufmacht, wenns zum Thema schon was gibt, aber okay mach ichs nächstes mal anders.
JoL2040 (_) Auf diesen Beitrag antworten »

Also das mit dem Satz von Rolle hab ich irgendwie nicht da einbrigen können. Das Problem ist doch, dass man beim Satz von Rolle aus den n Nullstellen der Originalfunktion auf n-1 Nullstellen der Ableitung schließen kann. Aber eigentlich brauchen wir es ja höchstens andersherum... Und naja bei dem Polynom seh ich nicht so richtig, wie man da zeigt dass alle Nullstellen reel und verschieden sind... Also naja irgendwie fallen einem dazu Algebra-Sachen ein, aber das lernt man ja normalerweise erst 1 Jahr später. Also es müsste sich schon eine Lösung finden lassen, die irgendwie mit MWS/Satz von Rolle (auf oder auf ??).

PS: In meinem ersten Beitrag steht übrigens Stuss, die Formulierung von in Termen von haut so nicht hin.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist: Die Funktion hat jeweils eine n-fache Nullstelle für . Nach dem Satz von Rolle folgt, dass wenigstens eine Nullstelle in hat. Mit dem Grad von bzw. zeigt man, dass diese Nullstelle einfach ist. Usw.
jol2040 Auf diesen Beitrag antworten »

cool Tanzen vielen Dank ich denke mal das ichs damit hinbekommen werde, werd mich morgen damit mal auseinandersetzen.
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