Monomorphismus in C

05.01.2005, 17:03

Master

Monomorphismus in C

Huhu,

ich habe mal wieder nicht den Hauch einer Ahnung wie ich folgende Aufgabe lösen soll (mir fehlt mal wieder irgendwie ein Ansatz smile

)

Fassen sie C als zweidimensionalen Raum auf. Zeigen Sie, dass dann

$\begin{eqnarray*} f:c -> M (2x2, \mathbb R ), x+iy -> \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ein Momorphismus ist, so dass $\begin{eqnarray*} f(z_1) * f(z_2) = f(z_1*z_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \in C \end{eqnarray*}$

05.01.2005, 17:12

Leopold

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Hier handelt es sich um die Charakterisierung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ durch 2×2-Matrizen.

Nimm zwei komplexe Zahlen

$\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \ , \ \ z' = x' + \operatorname{i}y' \end{eqnarray*}$

und zeige zunächst, daß, wenn du diese addierst (oder multiplizierst), ihrer Summe (ihrem Produkt) die Matrizensumme (das Matrizenprodukt) der ihnen zugeordneten Matrizen entspricht.

05.01.2005, 18:23

Master

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Ok, da denkt schon wieder einer zu hoch für mich Gott

Also ich werde mich um das Produkt kümmern, wie in Aufgabe ja indirekt verlangt:

$\begin{eqnarray*} z * z' = xx' + ixy' + ix'y - yy' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x' & -y' \\ y' & x' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} xx'-yy' & -xy'-yx' \\ yx'+xy' & -yy'+xx' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.01.2005, 18:39

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Also die Rechenoperationen mit Matrizen solltest du schon beherrschen, bevor du so eine Aufgabe angehst!

Hier eine Zusammenfassung der wichtigsten Operationen:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=617

05.01.2005, 18:45

Master

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Ja schon, ich kann Matrizzenmultiplikation quasi perfekt, nur habe ich das Gefühl, das es mir hier wenig bringt, weil ich damit auf sehr sehr komische Ergebnisse komme =) Aber ich habs mal oben reingeschrieben, vielleicht kann mir ja einer erklären wie es nun weitergeht smile

05.01.2005, 18:50

Leopold

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Ich verweise auf

Zitat:

Original von Arthur Dent
Also die Rechenoperationen mit Matrizen solltest du schon beherrschen, bevor du so eine Aufgabe angehst!

05.01.2005, 18:55

Master

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Zitat:

Original von Leopold
Ich verweise auf

ich verweise auf meine Inkompetenz in Sachen LateX Hammer

05.01.2005, 19:05

Master

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sollte aber nun stimmen, wenn ich nicht irgendwo noch einen Fehler mit LateX gemacht habe verwirrt

05.01.2005, 19:10

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Wenn du jetzt noch das Produkt der komplexen Zahlen etwas ordnest:

$\begin{eqnarray*} z * z' = xx' -yy' + i \cdot (xy' + x'y) \end{eqnarray*}$

und mit der von dir richtig berechneten Produktmatrix vergleichst, dann müsste dir etwas auffallen.

05.01.2005, 19:12

Leopold

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Jetzt stimmt es.

Und wenn du auf $\begin{eqnarray*} zz' \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anwendest, bekommst du genau dieses Matrizenprodukt. Das paßt alles wunderbar zusammen.

05.01.2005, 19:17

Master

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Boah, ich mache mir meistens das Leben zu schwer Tanzen

Hab ich damit die Aufgabenstellung auch komplett abgedeckt, ich denke ja und freue mich weiter Mit Zunge

DANKE SCHÖN Wink

05.01.2005, 19:29

Master

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Ahh...wo hier grad die ganzen Matrizzen-Spezialisten sind ( Big Laugh

) noch eine kleine Frage:

Ich habe eine Permuationsmatrix A: Ich soll nun 1.die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} A \in M ( 3x3, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ als geometrische Operation interpretieren und 2. zeigen, dass sie Invertierbar ist (und das Inverse angeben

wäre nett wenn mir da noch jemand einen Hinweis geben könnte (vor allem..wie soll ich sowas interpretieren geschockt

)

05.01.2005, 19:43

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Nimm dir doch mal eine Permutationsmatrix her und wende die Transformation auf die Koordinatenachsen x,y,z an (von mir aus nimm Einheitsvektoren in diese Richtungen) - was passiert da?

Tja, und die Inverse A^{-1} sieht ziemlich ähnlich aus wie A, ist aber i.a. nicht A... mehr will ich nicht verraten, du kannst sie ja auch ausrechnen. Big Laugh

05.01.2005, 20:02

Master

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Sind wir uns einig das dies hier eine solche Matrix ist?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also die Matrix^-1 wäre ja dieselbe, wie bei jeder..wie mir spontan auffällt *g* Aber wie beweise ich das?

Und zu der anderen Aufgabe: Kann ich da nicht sagen, das man quasi mit 1 Multipliziert? Ist doch so, oder hab ich einen Denkfehler Hammer

05.01.2005, 20:08

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Es gibt insgesamt 3!=6 solche Matrizen, 3 sogenannte "ungerade" Permutationen (so wie deine) - und dann gibt es aber auch noch "gerade" Permutationen wie

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zwischen diesen beiden Dreiergruppen gibt es "kleine" Unterschiede. verwirrt

05.01.2005, 20:13

Master

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist doch deine gespiegelt oder? also 3 spiegel sich richtig und 3 nicht? nur wie beweis ich das schon wieder =)

05.01.2005, 20:24

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Was verstehst du unter "spiegeln" - da gibt es hier nämlich mehrere Interpretationsmöglichkeiten.

05.01.2005, 20:32

Master

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Hmpf,

ich habs mir grade nochmal angeguckt...und komme gar nicht mehr klar. Also das oben ist nicht die Inverse deiner Matrix oder? Ich komme mit der Beschreibung von http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=617 gar nicht klar im moment...

Also ergeben sich bei den ungeraden auch nicht dieselben? Boah...Hilfe Hammer

05.01.2005, 20:35

Master

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Aber sind wir uns bei der andren Aufgabe einig, das dies eine Multiplikation mit eins ist? verwirrt

05.01.2005, 21:00

Master

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Ich hab jetzt die ganze Zeit in meinen Unterlagen geblättert und hab nichts von Inversen o.ä. gefunden, nichtmal bei google was vernünftiges. Die Erklärung in dem Thread kann auch irgendwie nicht der beste Lösungsweg sein, wenn ich schon Aufgaben sehe wie "für welche a ist diese Matrix invertierbar"...

ach man, ich will diese verfluchte Aufgabe lösen (ok, ich hab mittlerweile rausgefunden das jede Permutationsmatrix invertierbar ist, nur warum und der Beweis..den hab ich nciht gefunden)

05.01.2005, 21:16

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Da ich jetzt weg muss, "verletze" ich ein wenig die Boardregeln:

Für Permutationsmatrizen (nicht nur im R³) ist $\begin{eqnarray*} A^{-1}=A^T \end{eqnarray*}$ (also transponiert). Augenzwinkern

05.01.2005, 21:31

Master

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Danke

Ich habs auch schon geschafft Matrizen zu invertieren (da ist übrigends bei deinem angegeben Link ein deftiger Fehler in den Determinanten, deswegen hab ich es auch einfach nicht geschafft!), aber wie ich das verallgemeinern kann, dass es für ALLE permutationsmatrizen gilt, weiss ich nicht

06.01.2005, 10:57

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Zitat:

Original von Master
da ist übrigends bei deinem angegeben Link ein deftiger Fehler in den Determinanten

Falls das so ist - ich habe mir diesen Workshop nie richtig angeschaut - dann melde doch bitte den Fehler mit genauer Positionsangabe einem der für Algebra zuständigen Moderatoren (Mazze, sommer87, therisen - z.B. per PN), die können die Fehlerstelle dann korrigieren. Sicherlich sollte man die Workshops so fehlerarm wie möglich halten, da hast du Recht.

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