In welchem Halbraum liegt der Punkt?

Neue Frage »

06.05.2007, 11:05	Summerdream	Auf diesen Beitrag antworten »
In welchem Halbraum liegt der Punkt? Hallo zusammen! Wie man aus dem Thema schon erkennen kann, geht es mir um die Frage, ob ein Punkt P in dem Halbraum, in dem der Ursprung ist, liegt oder nicht. Kann mir vllt. jemand dabei helfen und auch erklären, warum das so ist? Danke schonmal !!
06.05.2007, 11:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: In welchem Halbraum liegt der Punkt? Meinst Du damit die Teilung des Raums durch eine Ebene?
06.05.2007, 11:10	Summerdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau !! =)
06.05.2007, 11:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die Hesse-Form einer Ebene?
06.05.2007, 11:13	Summerdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja kenne ich!! Weiß aber leider nicht, wie man hier Vektoren schreibt!!
06.05.2007, 11:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit latex entweder \vec{} oder \overrightarrow{} Hesseform: $\begin{eqnarray} E:~\overrightarrow{n^0} (\vec{x}-\vec{a})=0 \end{eqnarray}$ Generell hätten wir ja bei der Wahl des Normalenvektors 2 Orientierungsmöglichkeiten. Er soll nun so gewählt werden, dass gilt: $\begin{eqnarray} sgn(-~\overrightarrow{n^0}\vec{a})=-1 \end{eqnarray}$ sgn: Signum (+1,0, -1) Dann kann man den Abstand eines Punktes P von der Ebene wie folgt bestimmen: $\begin{eqnarray} d=\overrightarrow{n^0} (\vec{p}-\vec{a}) \end{eqnarray*}$ Dabei ist \|d\| der Abstand und sein Vorzeichen gibt an in welchem Halbraum er liegt: d < 0: Urspung und P leigen auf derselben Seite der Ebene d=0: P liegt in der Ebene d > 0: Ursprung und P liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene
Anzeige

06.05.2007, 11:22	Summerdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie kann die Länge d denn negativ sein??
06.05.2007, 11:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Länge ist doch dann der Betrag.
06.05.2007, 11:28	Summerdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ich hab noch ne blöde Frage Was soll dann negativ sein? Der Vektor d kann ja auch nicht negativ sein
06.05.2007, 11:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
d ist kein Vektor. Sondern eine Zahl. vielleicht machen wir ein Beispiel. Wir betrachten die zur x1x2-Ebene parallele Ebene die den Punkt A(1/1/1) enthält. Ein normiter Normalenvektor ist dann sicher $\begin{eqnarray} \overrightarrow{n_1^0}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber eben auch $\begin{eqnarray} \overrightarrow{n_2^0}=\begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Welchen müssen wir jetzt für die Hesseform nehmen? $\begin{eqnarray} -\overrightarrow{n_1^0}\vec{a} = -(0\cdot1+0\cdot1+1\cdot1) =-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\overrightarrow{n_1^0}\vec{a} = -(0\cdot1+0\cdot1+(-1)\cdot1) =1 \end{eqnarray}$ also Nummer 1, "dem von Urspung wegführenden" Welchen Abstand hat nun der Punkt P(0.5/0.5/0.5) von der Ebene? $\begin{eqnarray} d=\overrightarrow{n_1^0}(\vec{p}-\vec{a}) = 0\cdot(-0.5)+0\cdot(-0.5) + 1 \cdot (-0.5) = -0.5 \end{eqnarray*}$ Das Verrät uns: P liegt auf der Ursprungsseite. P hat den Abstand 0.5.
06.05.2007, 11:48	Summerdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaaaaaachsoooo verstanden!! Vielen vielen Dank!!
06.05.2007, 11:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht noch etwas ergänzendes zum Skalarprodukt: $\begin{eqnarray} \vec{a}\vec{b} = \|\vec{a}\| \cdot\|\vec{b}\| \cdot \cos(\gamma) \end{eqnarray}$ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/9/92/SkalarproduktSkizze.jpg Im Falle $\begin{eqnarray} \vec{a}\vec{b} = 0 \end{eqnarray}$ stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Daher kommt dann die Normalenform einer Ebene $\begin{eqnarray} \vec{n}(\vec{x}-\vec{a})=0 \end{eqnarray*}$ Nun kannst Du ja mal überlegen, wie man dann auf die Abstandsrechnung gekommen ist
06.05.2007, 13:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich empfehle ein anderes Vorgehen. Statt mühsam die Halbebene zu fixieren, die den Ursprung enthält, ist es einfacher, die Frage zu stellen, ob $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ im selben Halbraum wie der Ursprung oder im anderen Halbraum liegt. Ist nämlich die Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} f(\vec{x}) = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(\vec{x}) = \vec{n} \cdot \left( \vec{x} - \vec{a} \right) \end{eqnarray}$ gegeben, dann liegen Punkte mit den Ortsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{x}, \vec{y} \end{eqnarray}$ genau dann im selben Halbraum von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ , wenn die Vorzeichen von $\begin{eqnarray} f(\vec{x}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\vec{y}) \end{eqnarray}$ gleich sind. Eine Normierung des Normalenvektors ist dafür gar nicht erforderlich. Beispiel: $\begin{eqnarray} E: \ \ 2x_1 - 19x_2 + 3x_3 - 7 = 0 \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1 - 19x_2 + 3x_3 - 7 \end{eqnarray}$ . Liegt $\begin{eqnarray} P = (2\|-1\|3) \end{eqnarray}$ im selben Halbraum wie der Ursprung? $\begin{eqnarray} f(0,0,0) = - 7 < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(2,-1,3) = 25 > 0 \end{eqnarray}$ Damit liegen $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und der Ursprung in verschiedenen Halbräumen von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . Und das war es auch schon.

Neue Frage »

Antworten »

In welchem Halbraum liegt der Punkt?

Verwandte Themen