Gruppentheorie

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Scherge Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie
Hey,
ich habe folgendes Problem:

Ich soll beweisen, dass in nicht kommutativen Gruppen folgendes gilt:

"Es gibt genau ein neutrales Element."

"Das Inverse des inversen Elementes ist das Element selbst"



Dass diese beiden Thesen zutreffen ist mir schon klar, nur ist es mir schleierhaft, wie genau dass zu beweisen ist.


Bitte um Hilfe und danke im Vorraus

Mfg Scherge
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppentheorie
Ist es nicht eine grundsätzliche Eigenschaft einer Gruppe, dass das neutrale Element eindeutig existiert?

Genauso wie zu jedem Element sein Inverses eindeutig existiert und es gilt, dass Links inverses = Rechtsinverses ist.

kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weiß ist es das nicht tigerbine. Aber der Beweis dazu ist ziemlich leicht.

Versuche einmal anzunehmen es existieren ein zweites neutralen Element f und zeige dann durch Erweitern mit dem anderen neutralen Element das diese gleich sind.

Zum Inversen:

Jetzt geeignet beide Seiten multiplizieren so das x = a herauskommt(Dabei musst du die bereits erwähnte Eigenschafft der Eindeutigkeit eines Inversen benutzen)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kiste, mit Eigenschaft meinte ich nicht Definition. Ich meinte hiermit eher, dass es für jede Gruppe gilt. (Muss man natürlich beweisen). Es verwirrte mich die aufgabenstellung:

Zeige, dass in einer nichtkommutativen Gruppe gilt...

Aber Punkt 1 gilt doch in jeder Gruppe?
Wink
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss Tigerbine auch zustimmen: Meines Erachtens ist das neutrale Element immer eindeutig. in meinem Skript habe ich aber folgendes gefunden:

Definition 2.2.1 Sei (G, ) eine Menge mit einer assoziativen Verknpfüung
und einem neutralen Element. G wird eine Gruppe genannt falls alle Elemente
von G invertierbar sind bezüglich

Das klingt nicht so wirklich nach zwingender eindeutigkeit
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zeige, dass in einer nichtkommutativen Gruppe gilt...

Aber Punkt 1 gilt doch in jeder Gruppe?


Hat doch auch keiner irgendwo geschrieben, dass es in einer kommutativen Gruppe nicht gelten würde, oder? Lehrer Augenzwinkern

Edit: Eindeutigkeit von neutralem Element und Inversen sind meines Erachtens nicht Teil der Definition, sondern Folgerungen.

Gehört für mich nach Uni > Algebra.
 
 
Trampeltier Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist das neutrale Element immer eindeutig, ebenso die Inverse Augenzwinkern

Indirekter Beweis Inverse:
Sei g € G vorgegeben
Gegenteilige Annahme: Es existieren zu g zwei Inverse: ``g1 und ``g2

``g1* g = e = g * ``g2

Daraus folgt:

``g1= ``g1 * e = ``g1 * (g * ˜g2) = (``g1* g) * ``g2 = e * ``g2 = ``g2

Also war die Annahme falsch, es gibt doch nur ein inverses Element.

Indirekter Beweis Neutrale:

Gegenteilige Annahme: Es gibt zwei neutrale Elemente e und ``e € G.

Dann gilt fur alle g € G:
e * ``e = ``e
mit neutralem El. e und g = ``e
e * ``e = e
mit neutralem El. ``e und g = e

zusammengesetzt: ``e = e * ``e = e

Also gilt e = ``e. Also war unsere Annahme falsch, es gibt doch nur ein neutrales Element.

Hoffe die Beweise sind ersichtlich Augenzwinkern
Gruß Trampel
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Ben Wink

das ist richtig. Wenn es z.B. im Skript schon allgemein beweisen ist, könnte man darauf verweisen Augenzwinkern Und ich wollte doch nur mal nachfragen, dass es allgemein gilt, und nicht nur in diesem Speziellen Fall.

Bei war folgender Aufbau:

1. Definition Gruppe

Bemerkung:

Eindeutigkeit von e (Folgerung aus der Eindeutigkeit von e bei Halbgruppen, Verweis auf dortigen Beweis)

Nun hatte ich angenommen, dass man, bevor man ein Ü-Blatt zu Gruppen bekommt, sie wenigstens schon eingeführt hat. Und dann hier beim Beweis nur die Gruppeneigenschaft braucht, nicht die "Nichtkommutativität", im Gegensatz zu Teil 2.

EDIT: Nach HSM-A verschoben
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Trampeltier, lies dir bitte einmal das Prinzip "Mathe online verstehen!" durch.

kiste hatte eigentlich schon Tipps zu den Beweisen gegeben.

Gruß vom Ben
Trampeltier Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt, ich habe das nicht richtig gelesen. Ich wollte nur Klarheit in der Diskussion schaffen die neben der Aufgabenstellung lief.

Kommt nicht wieder vor Gott
Scherge Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke habt mir schonmal ein wenig weitergeholfen, nur noch eine frage, ist das neutrale element und die inverse in abelschen gruppen nciht zwingend vorhanden?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage verstehe ich jetzt nicht. Wir haben diskutiert, dass man die Eindeutig keit des Neutralen Elements und des zu einen Element gehörenden inversen Elements alleine aus den Gruppeneigenschaften folgern kann.

sprich: Es gilt für alle Gruppen => somit auch für Nichtkommutative

Nun klar? Augenzwinkern
Scherge Auf diesen Beitrag antworten »

oh sry, meine eigene aufgabenstellung hat mich verwirrt, aber was würdet ihr denn persönlich für beispiele von gruppen aus analysis und vektorieller anal, geometrie nehmen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Frage verwirrt mich jetzt. Beispiele für was?
Scherge Auf diesen Beitrag antworten »

ooh nochmal sorry, hab ganz vergessen die komplette anforderung abzutippen:

"In der Mengenalgebra gibt es den Begriff der "Gruppe", der durch die Gruppenaxiome definiert wird. Erläutern Sie diese und geben sie Beispiele für Gruppen aus der Analysis und vektoriellen analytischen Geometrie."

sorry mein fehler
Scherge Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetz als beweis frü das inverse folgendes angeführt:

Hypothese: (a*)* = a


Beispiel (allgemeine Gruppe)
Zu beweisen: (a*)*=a
(a*)* = (a*)* ◦ n
= [(a*)* ◦ a*] ◦ a
= n ◦ a
= a

Beispiel (additive Gruppen):
Zu beweisen: (-3)* =3
(-3)*= (-3)* + 0
= (-3)* + [(-3) + 3]
= [(-3)*+(-3)] + 3
= 0 + 3
(-3)* = 3

Beispiel (multiplikative Gruppe):
Zu beweisen: (&#8531Augenzwinkern *=3
(&#8531Augenzwinkern * =(&#8531Augenzwinkern * ∙ 1
=(&#8531Augenzwinkern * ∙ (⅓ ∙ 3)
=[(&#8531Augenzwinkern * ∙ ⅓] ∙ 3
=1 ∙ 3
=3


Die jeweils zweite Zeile entsteht aufgrund von Substitution des neutralen Elements, die dritte aufgrund der assoziativiät (falls man das so schreibt) und die vierte aufgrund durch substitution der klammer mit dem neutralen element...

Meint ihr dass ist so annehmbar und ersichtlich?


Edit: okay, bitte nur die additive Gruppe betrachten weil meine 1/3 und * irgendwie entfremdet wurden

Bitte um antwort
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