Von p-Normen induzierte Matrixnormen

06.05.2007, 12:57	jol2040	Auf diesen Beitrag antworten »
Von p-Normen induzierte Matrixnormen Ich soll zeigen, dass die zur 1-, 2- und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ -Vektornorm gehörige Operatornorm die Spaltensummen-, Spektral- und Zeilensummennorm ist. Zunächst die 1-Norm: $\begin{eqnarray} \\| x \\|_1=\sum_{k=1}^n~{\mid x_k\mid} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \\|A\\|_1=sup_{\\|x\\|_1=1}~\\|Ax\\|_1=sup_{\\|x\\|_1=1}~\\| \sum_{j=1}^m~{a_{ij} x_j}\\|_1 = sup_{\\|x\\|_1=1}~{\sum_{i=1}^n~{\| \sum_{j=1}^m~{a_{ij} x_j}\|}} \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt mit der Dreiecksungleichung reingeht und $\begin{eqnarray} \|x_i\| \leq 1 \end{eqnarray}$ abschätzt, erhält man $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~{\sum_{j=1}^m~{\|a_{ij}\|}} \end{eqnarray}$ , erhalten möchte man aber $\begin{eqnarray} max_{j=1,...,n} \sum_{i=1}^n~{\|a_{ij}\|} \end{eqnarray}$ . Wie macht man das geschickter? Offenbar ist das ja zu grob, das einfach komponentenweise gegen 1 abzuschätzen... Bei der 2-Norm hat man ja zunächst: $\begin{eqnarray} \\|A\\|_2=sup_{\\|x\\|_2=1}~\\|Ax\\|_2=sup_{\sqrt{{\|x_1\|}^2+...+{\|x_n\|}^2}=1}~{\sqrt{ \sum_{i=1}^n~{(\sum_{j=1}^m~{a_{ij} x_j})^2 }}} \end{eqnarray}$ .... aber wie bringt man da dann die Eigenwerte für die Spektralnorm $\begin{eqnarray} \\|A\\|_2=max\{\lambda : \lambda Eigenwert von A^T A\} \end{eqnarray}$ ins Spiel? (Was mir schon auffällt, ist das man durch das $\begin{eqnarray} A^T A \end{eqnarray}$ die Summe der Quadrate der Einträge auf die Hauptdiagonale bekommt)

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