absolute und gleichmäßige Konvergenz einer Reihe

06.05.2007, 14:24	Dr. Logik	Auf diesen Beitrag antworten »
absolute und gleichmäßige Konvergenz einer Reihe Hallo zusammen. Ich habe bei folgender Aufgabe Probleme: die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1+n^2x} \end{eqnarray}$ a) Für welche Werte von x konvergiert die Reihe absolut? b) Auf welchen Intervallen konvergiert sie gleichmäßig? zu a) der Ansatz geht ja so: f(x) konvergiert absolut, wenn $\begin{eqnarray} \|\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1+n^2x}\| \end{eqnarray}$ konvergiert. jetzt muss ich das ganze abschätzen und da habe ich Probleme: es gilt: $\begin{eqnarray} \|\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1+n^2x}\|\le \sum_{n=1}^\infty \|\dfrac{1}{1+n^2x}\| \end{eqnarray}$ Und jetzt weiß ich leider nicht weiter. In der Übung sagte man uns, wir sollten eine konvergente Majorante finden, und dass das irgendwie für x>0 auf folgendes hinauslaufen wird: $\begin{eqnarray} \cdots \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ Allerdings habe ich keine Idee, wie hier die Abschätzung funktionieren soll, dass man da drauf kommt. Kann mir vielleicht jemand hierbei weiterhelfen? Wäre echt nett. Viele Grüße, Dr. Logik
06.05.2007, 14:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \|\dfrac{1}{1+n^2x}\| \leq \sum_{n=1}^\infty \|\dfrac{1}{n^2x}\| \end{eqnarray}$ Jetzt die Konstante rausziehen und du hast es schon
06.05.2007, 14:53	Dr. Logik	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Wenn ich mich jetzt nicht irre, gilt doch: für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \Longrightarrow \|\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1+n^2x}\|=0 \end{eqnarray}$ konvergiert die Reihe absolut gegen 0 und für x=0 divergiert die Reihe. Das heißt ich muss bei der gleichmäßigen Konvergenz f(x)=0 als Grenzfunktion verwenden und hier die beiden Fälle x<0 und x>0 betrachten. Stimmt das so? EDIT: Bei Reihen benötigt man ja gar keine Grenzfunktion oder? Das heißt ich muss $\begin{eqnarray} \|\sum_{n=k}^m \dfrac{1}{1+n^2x}\| \end{eqnarray}$ für x>0 und x<0 betrachten und für das ganze eine geeignete Epsilonschranke finden, oder?
07.05.2007, 13:00	Dr. Logik	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand beim Abschätzen von $\begin{eqnarray} \|\sum_{n=k}^{m} \dfrac {1}{1+n^2x}\| \end{eqnarray}$ helfen? Ich weiß, dass ich zu dieser Funktion ein Epsilon finden muss, so dass für $\begin{eqnarray} m,n\ge n_0 \text{ gelten muss: } \|\sum_{n=k}^{m} \dfrac {1}{1+n^2x}\|< \epsilon \end{eqnarray}$ und hier muss ich wohl eine Unterscheidung für x<0 und x>0 machen. Mein Problem ist allerdings, dass ich nicht weiß, wie ich die Summe abschätzen soll, so dass sich ein geeignetes Epsilon findet, da ich hier ja nicht so einfach die harmonische Reihe oder so wie bei der absoluten Konvergenz erzeugen kann.

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