Wurzelgleichung

06.05.2007, 16:13

pi-quadrat

Wurzelgleichung

Diese Wurzelgleichung stammt aus der Matheolympiade 04:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2 } + \sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2 }=1 \end{eqnarray*}$

Hat jemand einen Tipp? Ich hab's erst mit der Substitution $\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1}-2=z \end{eqnarray*}$ versucht ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{z^2 } + \sqrt{(z-1)^2 }=1 \end{eqnarray*}$ ), aber das führt irgendwie zu unendlich vielen Lösungen.

06.05.2007, 16:17

pi-quadrat

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Oder moment, jetzt hab ich mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ raus. Kann das jemand bestätigen?

06.05.2007, 16:21

pi-quadrat

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Ahh, ich hab's $\begin{eqnarray*} x=10. \end{eqnarray*}$ .

Danke für eure Hilfe. Big Laugh

06.05.2007, 22:51

TommyAngelo

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Hat jemand diese Gleichung ganz ohne Substitution gelöst und auch keine Beträge verwendet, sondern nur quadriert?

06.05.2007, 23:15

tigerbine

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Steht dann da nicht eigentlich:

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x-1}-2| + |\sqrt{x-1}-3| = 1 \end{eqnarray*}$

Dann Fallunterscheidung...zunächt mal gilt $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 1.~\sqrt{x-1} < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~ 2 \leq \sqrt{x-1} < 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.~3 \leq \sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$

Dann

$\begin{eqnarray*} 1.~-\sqrt{x-1}+2-\sqrt{x-1}+3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\sqrt{x-1}+5 =1 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} = 2 \Rightarrow x = 5 \end{eqnarray*}$
Nicht im angenommenen Intervall.

$\begin{eqnarray*} 2.~\sqrt{x-1}-2-\sqrt{x-1}+3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1}-2-\sqrt{x-1}+3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.~\sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-1}-3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{x-1}-5= 1 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}=3 \Rightarrow x=10 \end{eqnarray*}$

was sagt uns (2)?

EDIT: Rechnung 1 korrigert. Siehe Tommy.

06.05.2007, 23:26

TommyAngelo

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1. stimmt nicht, x ist da nicht 3. Wurzel 2 kann ja nicht 2 sein.
Ich glaube, die 2. Gleichung ist nicht von Bedeutung

06.05.2007, 23:46

tigerbine

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Also die 1 habe ich oben korrigiert. Nun nochmal zur 2.

$\begin{eqnarray*} 2 \leq \sqrt{x-1} < 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 5 \leq x < 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\sqrt{5-1}-2)^2 } + \sqrt{(\sqrt{5-1}-3)^2 }= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\sqrt{4}-2)^2 } + \sqrt{(\sqrt{4}-3)^2 }= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(2-2)^2 } + \sqrt{(2-3)^2 }= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 1=1 \end{eqnarray*}$

Also vielleicht doch nicht so uninteressant, der Fall 2 Augenzwinkern

07.05.2007, 08:57

pi-quadrat

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Ihr habt natürlich Recht mit den Beträgen. Aber die hätte man auch in meine Substitution einbauen können, was das Ganze nochmal vereinfacht.

07.05.2007, 10:24

tigerbine

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Also, wenn wir mal von der Effizienz des Aufschriebs absehen, so bleibt festzuhalten, dass es eben nicht nur die Lösung x=10 gibt. Der interessante Fall ist eigentlich der Nummer 2. Denn damit erhalten wir den Löwenanteil der Lösungsmenge. Insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = [5,10] \end{eqnarray*}$

Wink

EDIT: Womit wir wieder bei deiner ersten Aussage gelandet sind. Unendlich viele Lösungen. Hattest Du da denn auch das Intervall raus? Hast ja nichts hingeschrieben?

07.05.2007, 14:52

TommyAngelo

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Ja, Entschuldigung für mein Missgeschick. Könntest du noch mal deine Fallunterscheidung erklären?

07.05.2007, 14:58

tigerbine

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In der Aufgabe steht $\begin{eqnarray*} \sqrt{(...)^2} \end{eqnarray*}$ was uns nach Definition zu dem Betrag $\begin{eqnarray*} |...| \end{eqnarray*}$ führt.

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x-1}-2| + |\sqrt{x-1}-3| = 1 \end{eqnarray*}$

Um diese Gleichung nun zu lösnen, mussen ja die Beträge beseitigt werden.

Mach doch mal die einzelnen Fälle:

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x-1}-2| =\begin{cases}\sqrt{x-1}-2 & \text{für } ? \\ -\sqrt{x-1}+2 & \text{für } ?\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x-1}-3| = \begin{cases}\sqrt{x-1}-3& \text{für } ? \\ -\sqrt{x-1}+3 & \text{für } ?\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wink

07.05.2007, 15:11

TommyAngelo

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Jo schon kapiert.
für den Term >0 <0, usw.

07.05.2007, 15:14

tigerbine

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Zitat:

Original von TommyAngelo
Könntest du noch mal deine Fallunterscheidung erklären?

Frage damit beantwortet?

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