Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl

Neue Frage »

heyholetsgo^^ Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl
Bevor ich zu meiner eigentlichen Frage komme, wird die Bedingung f(t)'=f(t) noch von irgendeiner einer anderen Gleichung als f(x)= e^x erfüllt?

Aber jetzt ans Eingemachte, unter http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_...Eulerschen_Zahl
wir die Irrationalität der Eulerschen Zahl bewiesen. Leider steige ich ab dem Durchmultiplieziren mit q! nicht mehr durch; wie kommt die zweite Summe zustande?

Ich wäre total dankbar, wenn mir jemand den Vorgang erklären könnte, sodass man es mit 12 Klässler Mathematik versteht!
THX! Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl
Was ist denn genau unklar. Man teilt die "Summe" (eigentlich Reihe) in 2 "Teilsummen" (eine Summe und eine Reihe) auf. Die erste liegt in den Natürlichen Zahlen. Für die zweite (M) will man zeigen, dass sie zwischen 0 < M < 1 liegt. Damit liegt sie nicht in den natürlichen Zahlen.

Zunächst einmal ist jeder Summand > 0 , somit auch M>0. Um eine obere Schranke zu finden, schätzt man jeden Summanden einzeln ab. Man erhält dabei eine geometrische Reihe, deren Grenzwert man bestimmen kann. Dieser ist 0.5. Daher liegt M zwischen 0 und 0.5, kann somit keine natürliche Zahl sein.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keine zweite Summe, das ist immernoch die Selbe.



Diese Unendliche Summe wird einfach in zwei Teile geteilt, weil das eben günstig so ist.

Nur erfüllt
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber erfüllts doch auch !
heyholetsgo^^ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl
Zitat:
Original von tigerbine
Was ist denn genau unklar. Man teilt die "Summe" (eigentlich Reihe) in 2 "Teilsummen" (eine Summe und eine Reihe) auf. Die erste liegt in den Natürlichen Zahlen. Für die zweite (M) will man zeigen, dass sie zwischen 0 < M < 1 liegt. Damit liegt sie nicht in den natürlichen Zahlen.

Zunächst einmal ist jeder Summand > 0 , somit auch M>0. Um eine obere Schranke zu finden, schätzt man jeden Summanden einzeln ab. Man erhält dabei eine geometrische Reihe, deren Grenzwert man bestimmen kann. Dieser ist 0.5. Daher liegt M zwischen 0 und 0.5, kann somit keine natürliche Zahl sein.

Also im Endeffektf ist mir die zweite Teilsumme nicht klar. Wie hat die sich gebildet und was sagt sie aus? Man hat doch nur mit q durchmultiplieziert...

Apropos q, ist der Wert von q! bzw. q in der ganzen Gleichung konstant, tendiert er gegen unendlich?

Und wie kommt man von q!*(p/q)=(q-1)!*p?

THX! Forum Kloppe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl
Die Zahl e besitzt folgende Reihendarstellung:



Sei q nun eine natürliche Zahl (ungleich 0), dann kann man die Reihe auch so zerlegen:



Das erste ist eine Summe, das zweite eine Reihe. Nun hat man e mit q! multipliziert, ergibt also:



q! ist eine natürliche Zahl und hat einen festen Wert. Soweit klar?
 
 
heyholetsgo^^ Auf diesen Beitrag antworten »

Nach wie vor ist mir nicht klar, wie die Umformung q!*(p/q)=(q-1)!*p? vonstatte gehen soll!

Und ann nochmal zu dieser Summe und der Reihe.
Die Summe ist doch eig. schon e, wie kann man da dann noch ne Reihe dranhängen.
n wird druch q ersetzt, oder? Also lässt man q gegen unendlich streben?!
Und warum ist eigentlich die Summe Teil der natürlichen Zahlen? Das kann man doch gar nicht sagen, oder?

Und diese Reihe, was sagt die eigentlich aus?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also, e besitzt die Reihendarstellung (unendliche Reihe):



Diese kann man aufteilen in einen Teil mit endlich vielen Summanden und den "rest", dass sind aber immer noch unendlich viele.

(*)

Im Beweis wird nun angenommen, dass man e als Bruch darstellen kann. Dieser soll in seiner vollständig gekürzten Form die folgende Darstellung haben:



Dabei sind p und q natürliche Zahlen. Es ist dann q! (Fakultät) gleich



auch wieder eine (feste) natürliche Zahl.

Um nun zu zeigen, dass die Annahme: "e ist rational" falsch ist, macht man folgendes. Man multipliziert beide Seiten der Gleichung (*) mit der Konstanten q!



Auf der linken Seite steht dann eine rationale Zahl. Wenn die Annahme richtig ist, dann muss auch die rechte Seite rational sein.


Nun hast Du aber mit der Umformun gder Linken Seite wohl Schwierigkeiten. Eigentlich wurde hier nur einmal mit q gekürzt. Es ist:



und (vergleiche oben)



Daher



Soweit jetzt klar?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt4
Aber erfüllts doch auch !


Richtig, darum wird im Normalfall die Bedingung noch hinzugezogen Augenzwinkern

air
heyholetsgo^^ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine


Soweit jetzt klar?

Ja, 1000 Dank, du bist der beste! Freude Prost
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schaffst Du dann den Rest alleine? Sonst frag. Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »