Eine senkrechte Ebene zu einer anderen

06.05.2007, 18:59

Laky

Eine senkrechte Ebene zu einer anderen

Hm..

Bin schon wieder ratlos.
Habe 2 Ebenengleichungen:

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und soll eine Schnittgeradengleichung erstellen. Da wir das noch nie gemacht haben, steh ich ein bisschen auf dem Schlauch.

Nächstes wäre, dass wir die Gleichung einer zu $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ senkrechten Ebene angeben sollen. Habe wieder fleißig den Normalenvektor ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich zumindest schon mal einen Richtungsvektor der senkrechten Ebene, nur fehlt mir jetzt noch der andere und ein Punkt...
Wie bekomm ich die raus? Oder gibt es da einen anderen (besseren) trick? verwirrt

Gruße Laky

06.05.2007, 19:31

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet ihr schon die Koordinatenform einer Ebene ?

Gruß Björn

06.05.2007, 19:33

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eine senkrechte Ebene zu einer anderen
Die Schnittgerade berechnest du durch gleichsetzen. Der Haken dabei ist, dass es mehr unbekannte als Gleichungen gibt, deswegen ist dir hier die substitution von Nutzen.

Zum zweiten: Das Skalarprodukt zwischen beiden Normalenvektoren muss 0 ergeben verwirrt

06.05.2007, 19:33

Tjamke

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du überprüfen willst, ob zwei Ebenen zueinander senkrecht stehen musst du einfach das Skalarprodukt der Normalenvektoren errechenen. Wenn es =0 ist sind sie senkrecht zueinander.

Für die Schnittgerade gibt es mehrer Wege (wie für vieles!). Eine wäre, eine Ebene in Koordinatenfrom umzustellen und dann die beiden Ebenen zu schneiden, wie zB eine Gerade und eine Ebene.

Edit: hm...dann halt nich...

06.05.2007, 19:35

Laky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hatten wir:

$\begin{eqnarray*} E_1: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 9 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E_2: 2x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 9 \end{eqnarray*}$ !

06.05.2007, 19:40

Laky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die beiden kordinatenfomen habe ich gleichgesetzt und da kam

$\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 \end{eqnarray*}$

raus- damit kann ich aber auch nichts anfangen *grml*

06.05.2007, 19:40

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun musst du durch LGS die Lösungsmenge bestimmen. Dabei eliminierst du bei einer Gleichung am besten das $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ .

06.05.2007, 19:41

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, denn dann geht es recht schnell.
Du musst nur das LGS lösen...da du 2 Gleichung mit 3 Variablen hast wirst du unendlich viele Lösungen erhalten, die Lösung hängt von einem Parameter ab.

Für die senkrechte Ebene befolge den Hinweis von Musti und Tjamke.

Björn

06.05.2007, 19:45

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ja, die beiden kordinatenfomen habe ich gleichgesetzt und da kam

$\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 \end{eqnarray*}$

Genau richtig Freude

Setze dies in die erste Ebenengleichung ein und löse nach x1 auf.

Dann schreib mal die Lösungen für x1,x2 und x3 sauber untereinander (substituiere von mir aus noch x3=t).

Dann kannst du die Schnittgerade schon ablesen.

Björn

06.05.2007, 19:53

Laky

Auf diesen Beitrag antworten »

*fg*

ok, mal schaun, ob das stimmt:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 4,5 - 0,5x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = x_2 \end{eqnarray*}$

was hab ich denn jetzt raus? oh man...

06.05.2007, 19:59

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtig ist, dass auf der rechten Seite der Gleichungen immer dieselbe Variable steht:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 4,5 - 0,5x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 0+1 \cdot x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0+1 \cdot x_2 \end{eqnarray*}$

Nun ersetze mal x2 durch t und bilde den (Geraden)Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot ... \end{eqnarray*}$

06.05.2007, 20:11

Laky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh, also wäre die Gleichung der Schnittgeraden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -0,5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bitte, sage mir, dass das richtig ist!

06.05.2007, 20:12

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

itte, sage mir, dass das richtig ist!

Ok...mach ich smile

06.05.2007, 20:16

Laky

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! *erleichtert bin* Freude

Neue Frage »

Antworten »

Eine senkrechte Ebene zu einer anderen

Verwandte Themen