Stetige Funktion die mit Integration gleich 0 ist

06.05.2007, 19:47

Martin!

Stetige Funktion die mit Integration gleich 0 ist

Hallo,

ich komme bei der folgenden Aufgabe überhaupt nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich das am besten anpacken sollte:

Sei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion. Beweise:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) \alpha (x) ~dx = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in C ([a,b]) \Rightarrow f \equiv 0 \end{eqnarray*}$ .

wie packe ich diese Aufgabe am besten an?

Ich bin für jeden Tipp, Hilfestellung, Idee sehr sehr dankbar.

Gruß Martin

06.05.2007, 20:15

kiste

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Mhh weiß nicht ob ich jetzt schon zuviel verrate(ich hatte eine ähnliche Aufgabe vor ne Woche zu lösen) aber denke mal darüber nach was passiert wenn du den Spezialfall $\begin{eqnarray*} \alpha (x) = f(x) \end{eqnarray*}$ betrachtest

06.05.2007, 21:17

Martin!

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hmmm,
kann ich auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha (a) = \alpha (b) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

06.05.2007, 21:26

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Dann meinst du wohl das hier

Beweis Integral = 0 ,

worauf kiste schon angespielt hat. klarsoweits Tipp ist natürlich goldrichtig.

06.05.2007, 21:33

Martin!

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ok ich werde mal ein wenig drüber grübeln.
aber ... diese einschränkung $\begin{eqnarray*} \alpha (a) = \alpha (b) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für mich dann auch, oder?
ich kann damit zwar noch nicht viel anfangen, aber mal sehen ....

auf jedenfall schon mal danke

06.05.2007, 21:35

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Zitat:

Original von Martin!
aber ... diese einschränkung $\begin{eqnarray*} \alpha (a) = \alpha (b) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für mich dann auch, oder?

Das musst du doch wissen - wir können doch nicht deine Aufgabenstellung hellsehen! Ich habe nur deinen letzten Beitrag so gedeutet, dass das eine zusätzliche Forderung an die "Testfunktionen" $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist.

Bitte verlangt doch nicht andauernd, dass wir hier die Aufgabenstellungen erraten sollen! Korrekte Aufgabenstellungen sind doch das mindeste, was man von Fragestellern erwarten kann. unglücklich

06.05.2007, 22:01

Martin!

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ok, also die komplette aufgabestellung ist die die ich oben genannt habe. Also:

Sei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion. Beweise:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) \alpha (x) ~dx = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in C ([a,b]) \Rightarrow f \equiv 0 \end{eqnarray*}$ .

dann ist das wohl irgendwie ein anderer fall mit $\begin{eqnarray*} \alpha (a) = \alpha (b) = 0 \end{eqnarray*}$ . Das befindet sich schließlich nicht in der obigen aufgabenstellung.

06.05.2007, 22:07

kiste

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$\begin{eqnarray*} \alpha (a) = \alpha (b) = 0 \end{eqnarray*}$ war nur eine zusätzliche Vorgabe in meiner Aufgabe(siehe hierzu auch Arthurs Beitrag in meinem Thread). Das brauchst du nicht.

Du kannst natürlich auch die Spezialfälle mit $\begin{eqnarray*} \alpha (a) = \alpha (b) = 0 \end{eqnarray*}$ betrachten, dadurch wird es aber nur komplizierter(trotzdem möglich).

Am einfachsten wird es wohl sein wie oben schon einmal angedeutet den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha (x) = f(x) \end{eqnarray*}$ zu betrachten

07.05.2007, 11:59

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Ich hätte das ganze gar nicht aufs Tapet gebracht, wenn nicht diese seltsame Anmerkung gekommen wäre:

Zitat:

Original von Martin!
hmmm,
kann ich auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha (a) = \alpha (b) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Was steht hinter dieser Äußerung???

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