wann welches kriterium für konvergenz

06.05.2007, 21:16

weltretter

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wann welches kriterium für konvergenz

also das problem ist dass ich aus der vorlesung schon viele kriterien kenne aber ich net blicke wann ich welches nehmen muss und der prof meint dass man das mit ein wenig übung sieht- aber ich kann nicht üben wenn es nicht mal so was wie einen allgemeinen fahrplan gibt! also wäre mein aller größter wunsch mal so einen allgemeine ganz einfache übersicht wann ich welches nehemn muss nur so grob als anstoß- tiefster dank
...
denn ich hab das gefühl seit 5 stunden beim üben gegen eiene wand zu rennen

06.05.2007, 21:29

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Zunächst mal: Von welcher Konvergenz im speziellen redest du? Folgen, Reihen, reelle Funktionen, ... die Liste ist endlos

Ansonsten muss ich deinem Prof zustimmen: Den universellen Königsweg für alle Situationen gibt es nicht.

Am besten postest du mal die Probleme, die dir am meisten auf den Nägeln brennen.

06.05.2007, 21:48

weltretter

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es geht um reihen
Aufgabe H 1.

leider funktioniert das herkopiern nicht und ich hab keinen plan wie ich da alles über den rechner eingebn soll verwirrt

verwirrt

also hier mal der link...

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/s...ngen/Blatt1.pdf

06.05.2007, 22:11

weltretter

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ich brauch halt einen ansatz damit ich rechnen kann und daraus auf andere aufgaben schließen kann, weil grad hab ich keinen plan wie ich anfangen soll...

06.05.2007, 22:29

kiste

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a) siehe Konvergenz einer Reihe
b) steht doch bereits in der Aufgabenstellung was zu tun ist
c) Die harmonische Reihe ist so ziemlich das Standardbeispiel für Divergenz. Wenn du zu unendlich noch was dazuaddierst kann was passieren?
d) Aufsplitten in 2 Teilsummen und von beiden Konvergenz zeigen

07.05.2007, 08:24

weltretter

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ok jetzt bin ich bei a soweit dass ich zwei geometrische reihen hab

(5/49) * (1/7)^k + n beiden(1/49) + (-1/7)^k

muss ich jetzt von beiden den nach der bekannten formel(siehe wikipedia) auf konvergenz untersuchen?als das somit in 2 reihen aufteilen mit zwei summenzeichen?

und bitte verrratet mir wie ich hier die ganzen fachzeichen eingegebne bekomme Hilfe

Hilfe

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07.05.2007, 08:36

weltretter

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so bei b hab ich erweitert aber wenn ich das richtig gemacht hab ich (3-2 * (wuzel(k^2 + 1) * wurzel(k ^2 + 2)))/ k und jetzt?

bei c ist mir die divergenz auch vollkommen vom logischen her klar- nur wie zeige ich das mathematisch simpel?

07.05.2007, 08:39

weltretter

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hab grad gesehen bei dem vorletzen beitrag hat das notebook rumgezick das "n beide" gehört natürlich nicht in die formel :sorry:

07.05.2007, 08:44

weltretter

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so und bei d hab ich jetzt zwei teilsummen und da nur im nenner k steht(und da auch noch in 4., 3. , und 2. potenz) konvergiert das ja wohl sehr eindeutig gegen 0- aber auch hier das problem: wie zeige ich das mathematisch?

07.05.2007, 08:48

klarsoweit

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a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{5+(-1)^k}{7^{k+2}} = \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{5}{7^{k+2}} + \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{7^{k+2}} \end{eqnarray*}$
Jetzt hast du 2 geometrische Reihen mit |q| < 1. Die Konvergenz ist damit klar.

Zitat:

Original von weltretter
so bei b hab ich erweitert aber wenn ich das richtig gemacht hab ich (3-2 * (wuzel(k^2 + 1) * wurzel(k ^2 + 2)))/ k und jetzt?

Da würde ich mal gerne deine Rechnung sehen.

Und bei c solltest du schauen, ob du eine divergente Minorante findest.

07.05.2007, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von weltretter
so und bei d hab ich jetzt zwei teilsummen und da nur im nenner k steht(und da auch noch in 4., 3. , und 2. potenz) konvergiert das ja wohl sehr eindeutig gegen 0

Was konvergiert da gegen Null? Die Folge der Summanden? Das wäre auch eine notwendige Voraussetzung für die Konvergenz der Reihe, reicht aber - wie man bei der harmonischen Reihe sieht - nicht aus.

07.05.2007, 08:59

weltretter

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also es würde wirklich helfen wenn mir jemand sagt wie ich die fachzeichen eingebe!!!!!!!!!!

bei b muss ich auch im nenner mit erweitern oder?also k+ das erweierte und im zähler wenn ich erweitere hab ich doch 2 klammern und muss somit jeden summanden miteinander multiplizieren oder nich?wenn ich das tu lösen sich 2 wurzel auf(wenn man die jewahligen mit sich selbst multipliziert) und dann hat man noch 2 mal wurzel mal wurzel- und jetzt?

und wie finde ich eine divergente minorante?

ja bei d ist mir das auch klar aber was jetzt???

07.05.2007, 09:03

kiste

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Fachzeichen gibst du mit den [ latex ] -Tags und dem Formeleditor ein(oder drücke auf Zitat).

Schreibe einmal was du bei der b) genau hast.

Divergente Minorante finden tut man meist durch scharfes hinsehen und abschätzen.

zu d) und auch teils b):
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann wenn s > 1.

PS: Was studierst du den? Ich bin auch in Stuttgart Big Laugh

Big Laugh

07.05.2007, 09:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von weltretter
bei b muss ich auch im nenner mit erweitern oder?also k+ das erweierte und im zähler wenn ich erweitere hab ich doch 2 klammern und muss somit jeden summanden miteinander multiplizieren oder nich?wenn ich das tu lösen sich 2 wurzel auf(wenn man die jewahligen mit sich selbst multipliziert) und dann hat man noch 2 mal wurzel mal wurzel- und jetzt?

Also ich schreibe dir das jetzt noch hin. Den Rest rechnest du bitte selbst. Klicke auf Zitat, dann bekommst du den Code.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{\sqrt{k^2+2}-\sqrt{k^2+1}}{k} = \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(\sqrt{k^2+2}-\sqrt{k^2+1}) \cdot (\sqrt{k^2+2}+\sqrt{k^2+1})}{k \cdot (\sqrt{k^2+2}+\sqrt{k^2+1})} \end{eqnarray*}$

07.05.2007, 09:27

weltretter

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da stand dass mann die beiden wurzel in addition zum erweitern nehmen soll und ich fragte mich schon warum- mal sehen ob es daran lag dass ich so einen mist rausbekommen hab- und soweit wie du war ich auch schon aber jetzt hab ich zusammen gefasst aber das passt net, also es kürzt sich nicht weg, das einzige was ich feststelle das oben die größte potenz steht

Ps:ich studier umweltschutztechnik

07.05.2007, 09:29

weltretter

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ok warte ich denk ich hab den fehler die zwei glieder heben sich ja auf...

07.05.2007, 09:32

weltretter

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ok ich hab im nenner 2 k^2+3 und im zähler k*der ausdruck m9it dem ich erweitert hab- und nun?

07.05.2007, 09:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von weltretter
ok ich hab im nenner 2 k^2+3 und im zähler k*der ausdruck m9it dem ich erweitert hab- und nun?

Irgendwie klingt das alles nur spanisch. Wäre es nicht möglich, daß du mal auf Zitat klickst und deine Rechnung in Latex postest?

07.05.2007, 09:51

weltretter

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}(2* k^{2}+3)/(k * ( \sqrt{k^2 + 2}+ \sqrt{k^2 +1} ) \end{eqnarray*}$ oder nicht?

07.05.2007, 10:00

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Der Zähler stimmt nicht. Siehe 3. binomische Formel:
(a + b) * (a - b) = a² - b²

07.05.2007, 10:19

weltretter

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[
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1] 1/(k * ( \sqrt{k^2 + 2}+ \sqrt{k^2 +1} ) \end{eqnarray*}$ und das heißt die summe geht gegen 0 also konvergiert sie?

07.05.2007, 10:19

weltretter

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}(1)/(k * ( \sqrt{k^2 + 2}+ \sqrt{k^2 +1} ) \end{eqnarray*}$ oder nicht?[/quote] meinte ich

07.05.2007, 10:24

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k \cdot ( \sqrt{k^2 + 2}+ \sqrt{k^2 +1} )} \end{eqnarray*}$

So sieht es schöner aus. Jetzt kann man den Summationsterm geeignet nach oben abschätzen.

07.05.2007, 10:35

weltretter

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was genau versteht man unter summationstherm?ich hab überall nachgeschaut aber kann diesen bergoff leider nicht finde verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

07.05.2007, 10:40

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Das ist der Teil (machmal auch Monstrum Augenzwinkern

Augenzwinkern

) hinter dem Summenzeichen. Genau dieser wird schließlich summiert.

07.05.2007, 10:45

weltretter

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also is der ganze therm den wir grade die ganze zeit umformen... Freude

Freude

fehlt nur noch was gemeint ist mit nach oben abschätzen(. ich denke das damit gemeint ist für größerwerdende k die wert zu schätzen)also wird der nenner immer größer und da zähler konstant 1 ist konvergiert das gegen 0

dann haben wir diese äußerst schewr geburt überstanden und ich steh net merh auf der falltür?!

07.05.2007, 10:48

weltretter

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nein warte das wird ja immer alles addiert als nichts da mit 0 sondern
es könnte da diesen wetrt geben geen das das konvergiert da die summanden immer kleiner werden- wie bekomme ich diesen wert?

07.05.2007, 10:54

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Bei der Aufgabe b) soll man keinen Reihenwert angeben, sondern nur sagen bzw. zeigen, ob die Reihe konvergiert oder nicht. In diesem fall konvergiert die Reihe. Die Idee ist, zu dieser Reihe eine konvergente Majorante zu finden. Dazu muß man den Summationsterm

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k \cdot ( \sqrt{k^2 + 2}+ \sqrt{k^2 +1} )} \end{eqnarray*}$

geeignet nach oben abschätzen.

Tipp: was passiert, wenn man die "+2" bzw. "+1" unter den Wurzeln wegläßt?

07.05.2007, 11:00

weltretter

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dann ist im nenner k * (k+k) =2(k^2) und dann könnte man sagen dass 1 eine majorante ist da k=1 schon 1/2 ist und dann immer nur noch weniger dazu kommt. zbh für k=2 1/8; k=3 1/18 usw. ergo wird 1 nie erreicht?

07.05.2007, 11:04

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Unfug. Mit deiner Argumentation müßte dann ja auch die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac 1 k \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Ist dir irgendwo schon mal die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac {1}{k^2} \end{eqnarray*}$ begegnet?

07.05.2007, 11:08

weltretter

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nein was hatz diese den für eigenschaften?

07.05.2007, 11:15

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac {1}{k^2} \end{eqnarray*}$ ist konvergent, wie man sich leicht mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac {1}{k^2} \leq \frac {1}{k^2-k} = \frac {1}{k-1} - \frac {1}{k} \end{eqnarray*}$ für k >=2 überlegen kann.

Genau genommen ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac {1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2007, 11:20

weltretter

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ok also ist b konergent und ich hab begriffen warum und wie ichd s heraus finde jetzt muss ich zu chemie vorlesung und heuet nachmittag dann noch die d und zeigen warum c divergent ist(mathematisch) und fertig. riesen dank jetzt schon mal und bis später Wink

Wink

Freude

07.05.2007, 11:26

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Viel Spaß. Noch ein Tipp zu d). Da muß man ein Kamel (hier k²) reinschieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{2k+1}{k^2 \cdot (k+1)^2} = \frac{k^2+2k+1-k^2}{k^2 \cdot (k+1)^2} = \frac{k^2+2k+1}{k^2 \cdot (k+1)^2} - \frac{k^2}{k^2 \cdot (k+1)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kürzen und dann an die Teleskopsumme denken.

07.05.2007, 14:43

weltretter

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so wieder da Wink

Wink

alson das mit der quadratischen ergänzung dachte ich mir schon irgendwie..-also nach dem ich das gekürzt und zusammen gefasst habe komme ich auf 1/k^2 - 1 / (k+1)^2

da wir bei b ja schon hatte dass 1/k^2 konvergent ist ist das klar und durch abschätzen des zweiten kann ich auch sagen das es konvergent ist, da k^2 + 2k+ 1und somit ähnlich der ersten?

07.05.2007, 14:54

AD

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Mit dem Begriff Teleskopsumme/Teleskopreihe will man gewöhnlich auf was anderes hinaus als nur bloße Konvergenz: Nämlich auf die konkrete Bestimmung des Reihenwertes dieser Teleskopreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (a_k-a_{k+1}) = a_1 \end{eqnarray*}$ ,

wobei die einzige Voraussetzung die ist, dass $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

07.05.2007, 15:02

weltretter

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was wir ja jetzt gezeigt haben durch umformung .also nullfolge.und nun bestimme ich den grenzwert-von teleskopsumme ist nicht die rede... und für die grenzwertabschätzung muss ich doch die rsten glieder der reihe addieren oder nicht?

07.05.2007, 15:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von weltretter
und für die grenzwertabschätzung muss ich doch die rsten glieder der reihe addieren oder nicht?

Ja, du kannst mal bei der Teleskopsumme die ersten n Glieder addieren. Was steht dann da?.

Und beachte: wir machen da keine Grenzwertabschätzung, sondern berechnen den exakten Werte der Reihe.

07.05.2007, 15:27

weltretter

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0,75 0.93 0.9786 0, 9811 also ist der grenzwert 1-also nicht geschätzt?

07.05.2007, 15:38

klarsoweit

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So genau wollte ich es gar nicht wissen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was machst du, wenn n = 1000 oder eine Million ist?

Wir haben doch jetzt folgende Summe für die ersten n Glieder:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}) \end{eqnarray*}$

Ausgeschrieben ist das:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac 1 4 + \frac 1 4 - \frac 1 9 + ... - \frac{1}{(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann man ohne Probleme den Grenzwert für n gegen unendlich bilden.

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