Schlüsselbund

06.05.2007, 21:27

Igraine

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Schlüsselbund

Ein Schlüsselbund mit 15 gleichaussehenden Schlüsseln, jedoch nur einer passt ins Schluss.

Variante A: Alle Schlüsseln werden nacheinander durchprobiert, wobei man merkt, mit welchen man schon versucht hat

Vairante B: Zufälligerweise einen Schlüssel wählen, man weiss nicht, ob man ihn schon mal probiert hat.

Wie hoch ist die W'keit, dass man mehr als 12 Schlüssel probieren muss, bis man den richtigen gefunden hat bei Variante A und B?

A: 1 - w'keit, dass man 12 Schlüssel braucht.
1 - (1/15 * 1/14 * 1/13.... 1/4 * 12! = 0.00219 aber kann mir schlecht vorstellen, dass die zahl wirklich so klein sein soll

B: 1 - (1/15)^12 = 1?

was läuft falsch?

06.05.2007, 21:32

AD

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Beide Rechnungen sind falsch - aber ich kann den Fehler nicht erklären, wenn du nicht sagst, warum du gerade so rechnest.

06.05.2007, 21:41

Igraine

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nun ich habe so gerechnet, weil ich keine bessere idee habe.

bei A habe ich gerechnet 1 - die wahrscheinlichkeit, dass genau 12 schlüssel gebraucht werden.
w'keit für 1 schlüssel ist 1/15, für zwei 1/15*1/14 usw. dann mal faktor 12 oder 15. aber das stimmt auch nicht

bei B fällt mir nichts anderes ein

06.05.2007, 21:53

AD

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Zu A: Die Wkt, dass ein Schlüssel an Position $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist, ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{15} \end{eqnarray*}$ , d,.h. ist für jeder der Positionen $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots,15 \end{eqnarray*}$ gleich. Wenn man es kompliziert will, kriegt man das auch über bedingte Wkten raus:

Position 1 : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{15} \end{eqnarray*}$

Position 2 : $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{14} = \frac{1}{15} \end{eqnarray*}$

Position 3 : $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{15} \end{eqnarray*}$

...

Zu B: Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal hintereinander derselbe bestimmte Schlüssel rausgefischt wird, dann ist die Wkt dafür gleich $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{15}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Darum geht es hier aber nicht, sondern um die Wkt, dass ein bestimmter Schlüssel $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal hintereinander nicht rausgefischt wird - und da nimmt man wohl besser $\begin{eqnarray*} \left(\frac{14}{15}\right)^n \end{eqnarray*}$ ...

Verschoben

EDIT: Tippfehler

06.05.2007, 22:12

Igraine

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gibt es denn für Variante A einen einfachen Lösungsweg?

07.05.2007, 13:24

Igraine

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oder ist bei Variante A die Lösung einfach 13/15?

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07.05.2007, 13:49

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Nein!!!

"Mehr als 12 Schlüssel" heißt 13, 14 oder 15 Schlüssel, also ist die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{15-12}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ , da die Einzelwkten wie gesagt jeweils gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{15} \end{eqnarray*}$ sind.

Weniger raten, mehr gründlich nachdenken.

07.05.2007, 17:03

dos

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Es heißt, man soll die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass man den richtigen Schlüssel nach dem 12. Mal findet.

D.h.: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{15}*\frac{1}{14}...\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Da es heißt, man merkt sich die Schlüssel in Variante A und beachtet die Reihenfolge nicht, ist es eine Kombination ohne Wiederholung.

Für die Wahrscheinlichkeit p würde sich dann ergeben: $\begin{eqnarray*} p(P)=1.5*10^{-10} \end{eqnarray*}$ .

Ist eine ziemlich hohe Zahl. Aber eigentlich ist es auch sehr unwahrscheinlich, dass man den richtigen Schlüssel erst nach dem 13. Mal erwischt, ohne Wiederholung.

Mit Wiederholung, also ohne Merken der schon benutzen Schlüssel habe ich für p: $\begin{eqnarray*} p(P)=86% \end{eqnarray*}$ .

//Edit: Das zweite ist schonmal falsch. Ich rechne nochmal.

07.05.2007, 17:11

AD

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Zitat:

Original von dos
Für die Wahrscheinlichkeit p würde sich dann ergeben: $\begin{eqnarray*} p(P)=1.5*10^{-10} \end{eqnarray*}$ .

Ist eine ziemlich hohe Zahl.

Eher eine ziemlich kleine Zahl - dazu eine ohne jede Vernunft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich schlage vor, du simulierst das ganze mal, sagen wir 1000mal. Nach deinem Ergebnis dürfte das Ereignis, dass man den Schlüssel erst nach dem 12ten Probieren findet, eigentlich unter den 1000 Simulationen nicht vorkommen, mit sehr viel Pech vielleicht einmal.

Ich sage dir auf den Kopf voraus, dass es öfter passieren wird... smile

smile

07.05.2007, 17:14

dos

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Dann verstehe ich nicht, wo mein Fehler ist. Ich habe mir einen Baum gezeichnet mit 13 Ebenen, wobei sich bei jeder Ebene bzw. Verzweigung die Wahrscheinlichkeit im Nenner um 1 verringert.

//Edit: Ich meinte natürlich, wo sich die Wahrscheinlichkeit im Nenner um 1 erhöht.

07.05.2007, 17:16

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Dieses Produkt

Zitat:

Original von dos
D.h.: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{15}*\frac{1}{14}...\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

ist durch keinen Baum, der zum vorliegenden Problem gehört, begründbar.

Oder doch? Lass hören, ich bin gespannt.

07.05.2007, 17:19

dos

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Naja, beim ersten mal Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Schlüssel zu finden bei $\begin{eqnarray*} p(P)=\frac{1}{15} \end{eqnarray*}$ .

Beim zweiten Mal ziehen ist die Wahrscheinlichkeit dann $\begin{eqnarray*} p(P)=\frac{1}{14} \end{eqnarray*}$ , weil ja der eine Schlüssel zur Seite gelegt wird, usw.

07.05.2007, 17:22

AD

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Wenn du den Baum hinabsteigst, dann multiplizieren sich aber die Wahrscheinlichkeiten, den Schlüssel NICHT gefunden zu haben!!! Also in Anlehnung an meinen obigen Beitrag so:

Position >1 : $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \end{eqnarray*}$

Position >2 : $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \cdot \frac{13}{14} = \frac{13}{15} \end{eqnarray*}$

Position >3 : $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{12}{13} = \frac{12}{15} \end{eqnarray*}$

...

Position >12 : $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \cdot \frac{13}{14} \cdot \cdots \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{15} \end{eqnarray*}$

P.S.: Ganz schön kess von dir, mein Resultat in Frage zu stellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2007, 17:24

dos

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Oh. Das leuchtet mir jetzt ein! Da habe ich wohl einen sau blöden Fehler begangen. Solche Sachen auseinanderzuhalten fällt mir wohl noch schwer ;>

Danke für die schnellen Antworten!

07.05.2007, 17:28

dos

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Dann ist die Wahrscheinlichkeit für Variante B:

$\begin{eqnarray*} p(P)=\left( \frac{14}{15} \right)^{13}=40.7% \end{eqnarray*}$

oder?

edit (AD): LaTeX korrigiert.

07.05.2007, 18:26

AD

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Nicht ganz richtig: ^12 statt ^13

P.S.: Der hiesige Server hat gerade Probleme, also nicht wundern über die momentan völlig deformierten Formeln...

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