Kurvendiskussion

06.01.2005, 15:59

gast

Kurvendiskussion

hallo, ich mache gerade eine Kurvendiskussion und muss bestimmen ob ein Wendepunkt ein konkav/konvex- oder konvex/konkav -Übergang hat. Wie stelle ich das fest??

06.01.2005, 16:00

Auf diesen Beitrag antworten »

nun, eigentlich mit dem Vorzeichen der 3. Ableitung der zu untersuchenden Funktion. Nur welches Vorzeichen wofür da ist, kann ich dir leider nicht sagen, weil ich immer vergesse, welche Krümmung jetzt konvex bzw. Konkav ist....

06.01.2005, 16:06

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich mit der 2. Ableitung würde ich sagen

<0 ist negativ, rechts, konkav
>0 ist positiv, links, konvex gekrümmt

06.01.2005, 16:15

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab gerade eine quelle gefunden wo es auch so drin steht, danke mathe göttin Gott

06.01.2005, 16:31

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

so nächste frage (ich muss für ne klausur pauken smile

)

diese funktionsschar ist gegeben ft(x)=e^(tx+1) *(tx-1) t>0
1.Ableitung : ft'(x) = t*e^(tx+1)
2.Ableitung : ft''(x) = t^2*e^(tx+1)*(1+tx)

(das ist übrigends eine beispielaufgabe von matheboaed.de)

ich muss jetz die ortskurve der wendepunkte bestimmen. ich weiss zwar was
das ist aber nicht wie man es berechnet..

06.01.2005, 16:45

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

die ableitungen stimmen nicht. du musst nach produktregel ableiten Augenzwinkern

06.01.2005, 16:55

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man was hab ich denn da gemacht, also die müssten jetzt aber richtig sein:
1.Ableitung : t^2 * x * e^(tx+1)
2.Ableitung : t^2 * (1+tx) * e^(tx+1)

06.01.2005, 16:57

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

die stimmen Freude

06.01.2005, 17:11

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie bekomme ich jetzt die ortskurve der wendepunkte?

06.01.2005, 17:11

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal brauchst du die wendepunkte. hast du die schon??

06.01.2005, 17:33

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

ja x=-1/t
aber ich hab gerade festgestellt wenn ich f'''(-1/t) berechne kommt 0 raus, was doch soviel heisst, das es doch kein wendepunkt ist oder?

06.01.2005, 17:34

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann hast du an der stelle nur einen Flachpunkt. Das heisst die Funktion naehert sich einer Geraden an.

06.01.2005, 17:38

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

und angenommen es wäre ein wendepunkt:
ist dann das hier die ortskurve ? : o(t)=-1/t

06.01.2005, 17:38

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast
ja x=-1/t
aber ich hab gerade festgestellt wenn ich f'''(-1/t) berechne kommt 0 raus, was doch soviel heisst, das es doch kein wendepunkt ist oder?

dann müsstest du theoritsch die zweite ableitung auf eine VZW untersuchen.

Zitat:

Original von gast
und angenommen es wäre ein wendepunkt:
ist dann das hier die ortskurve ? : o(t)=-1/t

nein!! so nicht. du brauchst erstmal den dazugehörigen y-wert. dann sagst

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

das stellst du nach t um. nun ersetzt du im y-wert das t durch diesen term.

06.01.2005, 17:42

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Du untersuchst die zweite ableitung mit dem Nullsetzen der dritten Ableitung auf Vorzeichenwechsel. Dh. wenn $\begin{eqnarray*} f''(x_0)=0\ und\ f'''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ ist dann hat f bei x_0 keinen Wendepunkt

06.01.2005, 17:43

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hummma
Du untersuchst die zweite ableitung mit dem Nullsetzen der dritten Ableitung auf Vorzeichenwechsel. Dh. wenn $\begin{eqnarray*} f''(x_0)=0\ und\ f'''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ ist dann hat f bei x_0 keinen Wendepunkt

Das muss nicht sein! Die Funktion kann an der Stelle trotzdem einen Wendepunkt haben.

$\begin{eqnarray*} f'''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ kann auch vorliegen, wenn die Funktion einen VZW hat. Man denke dabei z.b. an $\begin{eqnarray*} x^7 \end{eqnarray*}$

Es muss die nächste höhere ungerade Ableitung 0 gleich null sein.

06.01.2005, 17:45

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt du hast recht

06.01.2005, 17:55

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das klingt eigenltich alles logisch:
also müsste als ortskurve o(x) = -2 rauskommen richtig (wenn -1/t wendepkt wäre) und x muss ungleich 0 sein

06.01.2005, 18:04

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

hier ist die 2.Aufgabe und meine lösungen:

2. Gegeben ist für s> 1/2 eine Funktion gs(x) mit gs(x)=-s²x²+4- 1/s²! Die Graphen der Schar schließen zwischen ihren Nullstellen mit der x-Achse eine Fläche ein.

a) Bestimme den Parameter s, für den diese Fläche maximal ist!

b) Gib an, wie groß die maximale Fläche ist!

c) Welchem Wert strebt der Flächeninhalt für unendlich große Werte von s zu?

zu a)
meine Idee ist folgende : ich bestimme die NST von gs(x)
xn1 = n
xn2 = -n n>0
dann die Stammfunktion G(x) und berechne danach die Fläche
G(n) - G(-n)
da ich ja die fläche mithilfe von s maximieren muss betrachte ich die fläche als funktion von s
A(s) = G(n) - G(-n)
dann kann ich ganz normal die extrema bestimmen und s ausrechnen
ich komme auf s=1

b) einfach A(1) bestimmen = 4* sqrt(3)

c) lim_s->oo A(s) = 32/3

bitte könnt ihr das für mich nochmal nachrechnen und mir bestätigen, damit würde ich ein stückchen selbstsicherer werden smile

06.01.2005, 18:04

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

nein. das geht hier nicht. sorry, aber das hatte ich noch nie verwirrt

du stellst so um

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{1}{t} \Leftrightarrow t = -x \end{eqnarray*}$

und ersetzt jetzt t in der ausgangsgleichung durch -x:

$\begin{eqnarray*} f_{-x}(x) = e^{1 - x^2}(-x^2 - 1) \end{eqnarray*}$

das ergibt die ortskurve:

$\begin{eqnarray*} o: y = -e^{1 - x^2}(x^2 + 1) \end{eqnarray*}$

06.01.2005, 18:09

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

x = -1/t <-> t = -x

wenn man die probe macht kommt -t = -1/t raus, das aber stimmt nicht

06.01.2005, 18:33

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
Es muss die nächste höhere ungerade Ableitung 0 gleich null sein.

Stimmt so formuliert ("muss") auch nicht:

Es gibt nichtkonstante Funktionen, deren Ableitungen an einer Stelle alle Null sind und die dort trotzdem einen Wendepunkt haben.

Aus Testfunktionen der Distributionstheorie kann man sowas zusammenbasteln - bei Bedarf such ich eine raus. Augenzwinkern

Natürlich besitzen solche Funktionen an der bewussten Stelle keine Taylor-Entwicklung.

06.01.2005, 18:38

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Falscher Ausdruck.

Die erste von 0 verschiedene Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_w \end{eqnarray*}$ muss eine ungerade Ableitung sein.

So ist es besser. Dann kann man mit Sicherheit sagen, dass da ein Wendepunkt ist Augenzwinkern

. Aber der VZW muss immer vorliegen. Das einfachste ist den nachzuweisen.

06.01.2005, 18:42

Auf diesen Beitrag antworten »

So habe ich es auch verstanden (nicht deine Grammatik war das Problem). Ich wollte eben nur deutlich darauf hinweisen, dass das nur "hinreichend" aber nicht notwendig für einen Wendepunkt ist, siehe nochmal mein letztes Beispiel.

06.01.2005, 18:43

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Japp. Hab schon verstanden Augenzwinkern

06.01.2005, 18:49

gast

Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst wohl ... nur "notwendig" aber nicht hinreichend... Arthur oder?
So wie ich das kenne ist wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist auch die notwendige erfüllt, aber nicht umgekehrt.

aber wie immer sind alle aussagen ohne gewähr *grins

06.01.2005, 19:01

Auf diesen Beitrag antworten »

@gast

Ich will nicht nicht unnötig verwirren, deshalb "vergiss" meine Anmerkung - die betrifft nur ziemlich exotische Funktionen, denen du wahrscheinlich nie begegnen wirst. Es sei denn, du studierst Mathematik, da werden dir beim Thema Distributionentheorie (meist im Zusammenhang mit Partiellen Differzialgleichungen) solche Exoten unterkommen.

Neue Frage »

Antworten »

Kurvendiskussion

Verwandte Themen