Rotationszahl von iterationen auf dem Kreis |
| 06.01.2005, 16:02 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Rotationszahl von iterationen auf dem Kreis Ich schaue mir gerade den Beweis an, dass die Rotationsszahl (die Durchscnittliche Rotation eines Punktes bei n-maliger Anwendung der Iterationsvorschrift) existiert. Dazu wird vorrausgesetzt, dass f(abbildung auf dem Kreis) keine periodischen Punkte hat. F wird als "Projektion oder lift" der Funktion in R betrachtet. (es existiert ebenso ein Fkt. "pi", die R auf den Kreis abbildet). Sei F^n(x) die "Projektion" von f^n in R, so gilt, dass F^n - x niemals eine ganze Zahl ist. Warum? Damit wird behauptet: Es existiert ein k: k < F^n(x) - x < k +1 (ist ja irgendwie klar) Nun betrachten wir weiter die Fkt's F^n(0), F^2*n(0), usw. Diese werden in die Gleichnug eingesetzt: k < F^n(0) < k +1 k < F^2n - F^n(0) < k +1 Wenn man das bis F^n*m(0) fortsetzt, dann erhält man durch addieren aller Gleichungen: m*k < F^m*n(0) < m*(k +1) Geteilt ducrh m*n gilt: k/n <( F^m*n(0))/m*n < (k +1)/n Ebenso erhält man durch multiplizieren mit 1/n der ersten Gl.: k/n <( F^n(0))/n < (k +1) /n Kombiniert man die beiden letzten Gleichungen erhält man: | F^m*n(0) / m*n - F^n(0) | < 1/ n Und ich weiß nicht, warum der letzte Schritt gilt. Ich kann mir das irgendwie nicht erschliessen. Wenn ihr noch Fragen, zu der etwas aufwendigen Frage hab, ergänze ich das sofort. Vielen Dank Tom |
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| 06.01.2005, 16:29 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Rotationszahl von iterationen auf dem Kreis Du kannst davon ausgehen, dass nicht allzu viele Leute hier schon mal von "Iterationen auf dem Kreis" gehört haben (mit Ausnahme von Leopold, der scheint ja alles zu kennen 
). Jedenfalls kann man in Mathematik promoviert haben, ohne je davon gehört zu haben. 
Also mal ganz von vorn: Was ist dein f? Eine Abbildung der Kreislinie (vielleicht sogar Einheitskreis) in sich? Und die Projektion F auf R ist doch nicht irgendeine (sonst hätte sie nicht die von dir nachzuweisende Eigenschaft), also wie sieht die aus? |
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| 06.01.2005, 16:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was eine Iteration auf dem Kreis ist, weiß ich auch nicht. Aber ich vermute einmal, daß das erste "Warum?" damit zu tun hat, daß f keine periodischen Punkte hat, was immer genau das heißen mag. Zur letzten Ungleichung siehe das Bild. (Ich vermute einmal, daß da in den Betragsstrichen beim Subtrahenden der Nenner n fehlt.) |
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| 06.01.2005, 19:10 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Leopold Genau ich habe das geteilt durch n in den Betragsstrichen vergessen. Aber deine Antwort ist genau das was ich wissen wollte. Sorry, auch für die unmögliche Darstellung(kein latex und so), aber ich hab das in der Bibliothek geschrieben, und die wollten schliessen. Also wenn noch jemand die Sache mit den Kreisen interessiert, dann kann ich noch was dazu schreiben. Ansonsten Vielen Dank!! (besonders natürlich an Leopold die Stütze meines Lernerfolgs
---hast mir schon oft zielsicher geholfen!)
Gruß Tom |
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