Laplace- Operator

07.05.2007, 16:15	Mathefrager	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace- Operator Hi Leute! Ich hab hier ein Problem mit einer Aufgabe. Die Aufgabenstellung lautet: siehe Abbildung Ich will keine komplette Lösung. Ich hab nur überhaupt keine Ahnung, wie ich anfangen kann. Würd mich also über einen Ansatz freuen. Vielen Dank im Voraus
07.05.2007, 16:59	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace- Operator Du sollst zeigen, was mit dem Laplace-Operator bei einer Polarkoordinatentrafo passiert. Die Lösung ist ja sogar schon gegeben, so dass du nur noch nachrechnen musst. Also rechne doch mal die nötigen partiellen Ableitungen der Funktion g aus.
07.05.2007, 17:06	Mathefrager	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace- Operator Für g ist doch keine konkrete Funktion gegeben. Es wird nur gesagt, dass g in Abhängigkeit von f steht. Wie leite ich g dann ab?
07.05.2007, 17:15	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace- Operator Nach der Kettenregel.
08.05.2007, 20:56	Mathefrager	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace- Operator Das man die Funktion mittels der Kettenregel ableiten kann, weiß ich ja, weil sie mit f verkettet ist. Ich hab nur ein Problem damit, weil ja auch für f keine konkrete Funktion gegeben ist. Wie kann ich das dann ableiten? Kann mir jemand vielleicht ein Beispiel geben oder die erste partielle Ableitung von g vorrechnen?
09.05.2007, 19:57	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace- Operator Wenn man für eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ keine konkrete Darstellung hat, so bezeichnet man ihre Ableitung halt mit $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ oder halt bei partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x}=f_x \end{eqnarray}$ . Wo ist das Problem? Beispiel: Man leite $\begin{eqnarray} g(\xi,\eta)=g(f(x),h(x)) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ab: $\begin{eqnarray} g_x=g_\xi\cdot f' + g_\eta\cdot h' \end{eqnarray}$
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28.05.2007, 19:56	meph	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ich habe gerade mit derselben Aufgabe zu tun, komme aber irgendwie zu keinem brauchbaren Ergebnis: $\begin{eqnarray} p(r,p):=(r cos \phi, r sin \phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\Delta u)\cdot p = \frac{d}{dr} \begin{pmatrix} cos\phi \\ sin\phi \end{pmatrix}u' + \frac{d}{d\phi} \begin{pmatrix} -r sin\phi \\ r cos\phi \end{pmatrix}u' \end{eqnarray}$ nachm 2. mal ABleiten und kürzen hatte ich: $\begin{eqnarray} = u'' + r² u'' + r \begin{pmatrix} -cos\phi \\ -sin\phi \end{pmatrix}u' \end{eqnarray}$ Ich vermute, dass ich die Kettenregel nicht richtig verwende, aber ich weiß nicht, was genau ich falsch mache
28.05.2007, 20:39	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
setze $\begin{eqnarray} v(r,\phi):=u(r\cos\phi,r\sin\phi) \end{eqnarray}$ daher gilt offenbar $\begin{eqnarray} u(x,y)=v(\sqrt{x^2+y^2},\arctan(y/x)) \end{eqnarray}$ . so kann man dann unter verwendung der kettenregel den laplace in polarkoordinaten berechnen!

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