Vektorraum-Isomorphsimus |
| 07.05.2007, 20:37 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektorraum-Isomorphsimus Ich habe hier einen Homomorphsismus zwischen V und (V*)* und würde gerne zeigen, dass das auch ein Isomorphismus ist. Wie stelle ich das am besten an? Wenn ich zeige, dass der Kern nur die null enthält und das Ganze damit injektiv ist, folgt dann auch, dass es surjektiv ist? (V ist endlichdimensional) Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir das erläutern könntet 
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| 07.05.2007, 20:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Vektorraum-Isomorphsimus
Also es gibt ein Korrolar zur Dimensionsformel: Sei phi: V -> V ein Endomorphismus eines endlich erzeugten K-Vektorraums V. Ist phi injektiv, so auch surjektiv und umgekehrt. Somit ist phi dann ein Automorphismus. Du betrachtest jetzt einen Homomorphismus. Dann müssen V und W ja noch nicht zwangsläufig die gleiche Dimension haben, so dass man das nicht einfach verallgemeinern kann. Dein W soll wohl (V*)* sein, oder? Also der Bidualraum? |
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| 07.05.2007, 20:59 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig! Also die Dimension müsste ja gleich sein. Nur wie zeig' ichs denn jetzt? |
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| 07.05.2007, 21:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was weißt du denn über den Dualraum? Also können wir die Behauptung: dim(V*) = dim (V) woraus dann auch dim(V)=dim(V**) folgt, als schon bewiesen annehmen? Habt ihr das Korollar von oben schon bewiesen? |
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| 07.05.2007, 21:21 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In beiden Fällen ja! Der Dualraum enthält ja nur Homomorphismen... hmm was weiß ich noch.... *denk* |
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| 07.05.2007, 21:23 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beides schon bewiesen? Dann sind wir doch schon fertig. |
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| 07.05.2007, 21:28 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also klappt das mit dem kern? |
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| 07.05.2007, 21:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei ein Homomorphismus und V endlich dimensional. Dann ist auch (V*)* endlichdimensional und es gilt nach Satz (? Skript) dim V = dim (V*)*. Des gespostete Lemma gilt auch für lin. Abbildungen zwischen endl. V und W, solange sie die gleiche Dimension haben. Folglich folgt aus deinem Beweis der Injektivität deiner Abbildung, dass es sich um einen Isomorphismus handelt 
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