Zentrische Streckung von Parabeln

07.05.2007, 23:55

tigerbine

Zentrische Streckung von Parabeln

Könnte die Aufgabe mal bitte jemand überprüfen? Wir hatten nie zentrische Streckung von Parabeln. Daher weiß ich nicht, ob der überlegte Weg stimmt. Danke Wink

*************************************************

Gegeben seien 2 Parabeln mit den Funktiongleichungen,

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=x^2+6x+9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_2(x)=\frac{1}{4}x^2-3 \end{eqnarray*}$

Die Parabel $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ kann durch Zentrische Streckung auf die Parabel $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Ermittle die Koordinaten des Streckungszentrums und den Streckungsfaktor.

Eine Streckungsgerade erhält man durch Verbindung der beiden Scheitelpunkte:

$\begin{eqnarray*} S_1(-3/0),~S_2(0/-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_s =-x -3 \end{eqnarray*}$

Durch bilden der Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} p_1'(x)=2x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_2'(x)=0.5x \end{eqnarray*}$

Erstellen einer Tangenten an p1 mit der Steigung 2:

$\begin{eqnarray*} T_1(-2/1),~ t_1(x)=2x+5 \end{eqnarray*}$

Die durch die Streckung entstehende Tangente an die Funktion p_2 im Punkt T2 hat auch die Steigung 2:

$\begin{eqnarray*} T_2(4/1),~t_2=2x-7 \end{eqnarray*}$

Die Gerade durch die Beiden Punkte lautet:

$\begin{eqnarray*} s_2(x)=1 \end{eqnarray*}$

Damit Wäre das Streckungszentrum Z(-4/1) und der Streckungsfaktor

$\begin{eqnarray*} k = \frac{|\overrightarrow{ZS_2}|}{|\overrightarrow{ZS_1}|} =4 \end{eqnarray*}$

08.05.2007, 11:40

outSchool

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Streckung Parabel
Hallo,

angenommen die Parabeln seien gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1;\hspace{10mm}a_1\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2;\hspace{10mm}a_2\neq 0 \end{eqnarray*}$

Eine zentrische Streckung der Parabel sehe ich als Verschiebung des Scheitelpunkts in irgendeine Richtung bei gleichzeitiger Dehnung der Parabel. Der Scheitelpunkt für $\begin{eqnarray*} p_1(x) \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} S_1(x|y)=\left(\frac{-b_1}{2a_1} | \frac{4a_1c_1-b_1^2}{4a_1}\right) \end{eqnarray*}$

Die Streckung (Dehnung) $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der Parabel von $\begin{eqnarray*} p_1(x) \end{eqnarray*}$ als Ausgangsparabel ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{\mid \vec{ZS_2} \mid }{\mid \vec{ZS_1} \mid } \end{eqnarray*}$

Soll nun wie in Deinem Beispiel die zentrische Streckung der Parabel von einem Punkt P ausgehen, dann schneidet die Streckungsgerade die Scheitelpunkte von $\begin{eqnarray*} p_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2(x) \end{eqnarray*}$ .
Das Streckungszentrum liegt immer im Punkt P, d. h., es gibt nur eine Lösung für:
$\begin{eqnarray*} p_1(x)=p_2(x) \end{eqnarray*}$
Schneiden sich die Parabeln oder gibt es keine Lösung für $\begin{eqnarray*} p_1(x)=p_2(x) \end{eqnarray*}$ , dann gibt es keine zentrische Streckung. In diesen Fällen gibt es zur Streckung noch eine Verschiebung.

08.05.2007, 11:58

tigerbine

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RE: Streckung Parabel

Zitat:

Original von outSchool

Soll nun wie in Deinem Beispiel die zentrische Streckung der Parabel von einem Punkt P ausgehen, dann schneidet die Streckungsgerade die Scheitelpunkte von $\begin{eqnarray*} p_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2(x) \end{eqnarray*}$ .
Das Streckungszentrum liegt immer im Punkt P

Danke für's antworten. Mit dieser Aussage im Zitat habe ich Probleme.

Was ist denn P. Im ersten Satz schreibst Du, dass es das Streckungszentrum ist. Dann macht der Satz:

Das Streckungszentrum liegt immer im Punkt P (=Streckungszentrum) so ja wenig "Sinn". Vielleicht meinst du aber auch, dass man diesen Punkt P (Strekcungszentrum) schon dadurch erhalten kann, dass man den Schnittpunkt der Parabeln bestimmt?

Wink

08.05.2007, 13:04

outSchool

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Nachschlag
Hallo,

im ersten Beispiel gehe ich aus von der Parabel
$\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1;\hspace{10mm}a_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ ,
die ich in irgendeine Richtung zentrisch strecken will. Da habe ich nur den Scheitelpunkt. Das Zentrum Z (Punkt P) ergibt sich aus dem Schnittpunkt Parabel mit der Streckungsgerade. Wenn ich jetzt den Scheitelpunkt von
$\begin{eqnarray*} p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2;\hspace{10mm}a_2\neq 0 \end{eqnarray*}$
auf der Streckungsgerade festlege, kann die Parabel $\begin{eqnarray*} p_2(x) \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.
In Deinem Beispiel liegen die Parabeln fest. Wenn ich jetzt feststellen will, ob eine zentrische Streckung vorliegt, müssen die Bedingungen (siehe Zitat ...) erfüllt sein.

Einen Sonderfall habe ich noch. Was ist, wenn das Zentrum mit dem Scheitelpunkt zusammenfällt?

08.05.2007, 13:12

tigerbine

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RE: Nachschlag
Deine Beantwortung geht weit über meine Frage hinaus. Was ja nichts schlechtes ist. Freude

Dennoch kurz die Zwischenfrage: Stimmt meine Rechnung von oben? j/n

Nun zum Allgemeinen. Beleib wir aber beim fall wie in der Aufgabe. 2 Parabeln, die sich schneiden im Punkt P. Kann man p1 in p2 durch Zentrische Streckung überführen? Wie lauten dann Z und k?

Da stehe ich nun auf der Leitung, was muss erfüllt sein?

Danke Wink

08.05.2007, 15:10

outSchool

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Dessert
Hallo,

erstmal

Zitat:

Dennoch kurz die Zwischenfrage: Stimmt meine Rechnung von oben? j/n

Auf den ersten Blick, ja.

Zitat:

Erstellen einer Tangenten an p1 mit der Steigung 2:

Ich weiss nicht, wie Du auf die Steigung 2 kommst. Wenn das willkürlich gewählt ist, dann nimm mal eine andere Steigung an.
Wenn $\begin{eqnarray*} p_2(x) \end{eqnarray*}$ durch zentrische Streckung von $\begin{eqnarray*} p_1(x) \end{eqnarray*}$ ensteht, dann kann das Zentrum nur in dem Punkt liegen, in dem sich die beiden Parabeln berühren. Den Punkt kann man dann analytisch bestimmen.

Nochmal zur Definition: http://de.wikipedia.org/wiki/Zentrische_Streckung

Die Streckenlänge $\begin{eqnarray*} \mid \vec{ZP'} \mid \end{eqnarray*}$ ist gleich dem | m | -fachen der Streckenlänge $\begin{eqnarray*} \mid \vec{ZP} \mid \end{eqnarray*}$ .
Das stimmt auch nur, wenn sich die beiden Parabeln im Streckungszentrum berühren. Schneiden sich die Parabeln oder gibt es gar keinen Schnittpunkt, dann stimmt das Streckenverhältnis nicht.

08.05.2007, 15:23

tigerbine

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RE: Dessert
Also die 2 War beliebig gewählt. Ich wollte damit einen neuen Punkt auf der Parabel p2 bestimmen. Um dann aus dem Schnitt der beiden Geraden das Streckungszentrum ermitteln zu können.

08.05.2007, 20:01

tigerbine

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10 Gänge Menü?
Also ich gehe dann mal davon aus, dass die gepostete Rechnung stimmt. Nun interessiert mich aber doch der allgemeine Fall:

**********************************************
Gegeben sei eine Parabel $\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1;~a_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ und ein Streckungszentrum Z sowie der Streckungsfaktor k.

=>
Eine Parabel ist durch 3 Punkte eindeutig bestimmt, also wählt man 3 Punkte und bestimmt deren Bildpunkte unter der Streckung. wählt man den Scheitelpunkt, dann reichen sogar 2 Punkte aus.

**********************************************
Das Bild einer Geraden unter zentrischen Streckung ist Parallel zur gestreckten Gerade.
**********************************************

Nun der Umgekehrte Weg. Gegeben sind 2 Parabeln. Sind sie durch zentr. Streckung in einander überführbar?

Der Scheitelpunkt von $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ wird auf den Scheitel von $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ abgebildet. D.h. Z liegt auf der Geraden durch die beiden Scheitel. Nun braucht man noch einen Punkt P und sein gestrecktes Bild. P' Jedoch ist dieser nicht so offensichtlich zu erkennen wie der Scheitel (oder sonst der Eckpunkt eines Vielecks). Man findet ihn über seine gespiegelte Tangente durch Parallelenverschiebung an die Parabel 2.

Schneiden sich die Beiden Geraden SS' und PP', so liegt eine zentrische Streckung vor. Sind sie Parallel, dann nicht? Es würde sich dann um eine Verschiebung handeln?

Kann man das so sagen?

08.05.2007, 20:44

outSchool

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Nach der Vorspeise
Hallo,

Zitat:

... und ein Streckungszentrum Z sowie der Streckungsfaktor k.

in welche Richtung wird gestreckt?

Prost

08.05.2007, 20:51

tigerbine

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Espresso?
Macht das einen Unterschied? Ich hatte die Skizze von oben, da war ja k=4 und auf meinem Block hier mal was mit k=-1...Sah beides OK aus.

Sollte die Optik trügen?

08.05.2007, 21:31

outSchool

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Jetzt ein leckeren Salat
Hallo,

ich habe mir mal überlegt, wenn das Streckungszentrum Z irgendwo in der x-y-Ebene liegt, dann müsste es doch reichen, wenn ich den Scheitelpunkt des Bildes bestimme. Durch die Streckung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und den Abstand $\begin{eqnarray*} \mid \vec{ZS_1}\mid \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \mid \vec{ZS_2}\mid \end{eqnarray*}$ bestimmt. $\begin{eqnarray*} S_2(x|y) \end{eqnarray*}$ liegt jetzt fest. Ausserdem gilt:

$\begin{eqnarray*} k= \frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} S_2(x|y)=\left(\frac{-b_2}{2a_2} | \frac{4a_2c_2-b_2^2}{4a_2}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich doch $\begin{eqnarray*} p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2 \end{eqnarray*}$ berechnen, oder?

Herr Ober, bitte Joghurt Dressing.

08.05.2007, 21:44

tigerbine

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Ist heute all you can eat .-)
Also, du bist jetzt doch wieder beim anderen Fall....

Gegeben:

Parabel 1 + Zentrum Z + Faktor k

also ich denke mal, mein Weg geht... Frage, geht's auch schneller?

Wir stellen die Parabelgleichung in der Scheitelpunktsform auf:

$\begin{eqnarray*} p_2=a_2(x-u)^2+v \end{eqnarray*}$

Wir können mit $\begin{eqnarray*} S_1, ~Z,~k \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Das liefert uns aber nur u und v. Denn eine Parabel ist nicht eindeutig durch ihren Scheitel bestimmt. (In deiner Schreibweise auch- nur aufwendiger - haben wir 2 Gleichungen für 3 unbekannte).

Deswegen bin ich der Meinung, das wir noch einen weiteren Punkt brauchen.

Hat's geschmeckt?

08.05.2007, 22:08

outSchool

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Hauptgang
Hallo,
stell Dir vor der Ober bringt Dir Dein Filetsteak in Parabelform, aber viel zu klein. Nach deiner Reklamation verschwindet der Ober in der Küche. Der Koch schlägt einmal mit dem Fleischhammer drauf und schon ist das Filet grösser.

Ich denke, der Streckungsfaktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bestimmt $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn nicht ...
Hilfe

Optisch kannst Du jetzt länger an dem Filetsteak kauen.
Wink

08.05.2007, 22:11

tigerbine

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Medium MMMH
Das k wird da sicher was mit zu tun haben. Also darin könnte die noch fehlende Bedingung für die Parabel stecken. Nur wie rechnen wir es aus verwirrt

Ich bin optisch noch am kauen....

08.05.2007, 23:01

outSchool

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Nach(t)tisch
Hallo,
angenommen ich habe die zentrische Streckung für den Scheitelpunkt S und irgendeinen Punkt P auf der Parabel durchgeführt, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} k = \mid \frac{\vec{ZP'}}{\vec{ZP}} \mid = \mid \frac{\vec{ZS'}}{\vec{ZS}} \mid = \mid \frac{\vec{P'S'}}{\vec{PS}} \mid \end{eqnarray*}$

Zu zeigen wäre jetzt noch (evtl. vektoriell), dass gilt:

$\begin{eqnarray*} k = \mid \frac{\vec{ZS'}}{\vec{ZS}} \mid = \frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$

Aber ich bin schon beim Nachtisch und danach lehn ich mich gemütlich zurück.

Cheers!
Prost

08.05.2007, 23:03

tigerbine

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RE: Nach(t)tisch
Ich denke drüber nach, aber bei mir steht jetzt PSargel auf der Speisekarte... YAMMMI

Weiß nicht, wann ich wieder on bin... Aber man kann ja auch herrlich frühstücken oder brunchen.... Wink

Denkst Du mal über den anderen Weg nach. Zu 2 Parabeln den Z Finden. Wann klappt das nicht. Stimmt das was ich oben dazu gesagt habe.

08.05.2007, 23:09

outSchool

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Kreative Phase
Hallo,

meine kreative Phase ist morgens zwischen 9 und 11 Uhr. Ich denke über den anderen Weg nach, morgen früh.
Schönen Abend noch.
Wink

09.05.2007, 10:27

tigerbine

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Erster Kaffe des Tages

Zitat:

Original von outSchool
Hallo,
angenommen ich habe die zentrische Streckung für den Scheitelpunkt S und irgendeinen Punkt P auf der Parabel durchgeführt, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} k = \mid \frac{\vec{ZP'}}{\vec{ZP}} \mid = \mid \frac{\vec{ZS'}}{\vec{ZS}} \mid = \mid \frac{\vec{P'S'}}{\vec{PS}} \mid \end{eqnarray*}$

Zu zeigen wäre jetzt noch (evtl. vektoriell), dass gilt:

$\begin{eqnarray*} k = \mid \frac{\vec{ZS'}}{\vec{ZS}} \mid = \frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$

Aber ich bin schon beim Nachtisch und danach lehn ich mich gemütlich zurück.

Cheers!
Prost

Also das klingt eigentlich gut, zumindest ist mit der Aufgabe ganz am Anfang auch schon mal kein Gegenbeispiel vorhanden. Mein Blick auf Parabeln war selten von geometrischer Natur, so dass sich auch aussagen um unser liebes $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ungeometrisch hielten. Aber in der Schule hieß es ja immer:

$\begin{eqnarray*} 0<|a_1|<1 \end{eqnarray*}$ gestauchte Normalparabel

$\begin{eqnarray*} 1<|a_1| \end{eqnarray*}$ gestreckte Normalparabel

Das müsste doch dann ins Konzept passen, nur das wir das an dieser Stelle eben nie ausführlich erklärt haben. Da hätte man doch schon sagen können, dass man die Parabeln (Normalparabel und p1) durch zentrische Streckung ineinander überführen kann, ooder verwirrt

(Diese Aufrollrichtung ist ja Problem 2, dasind wir ja auch noch nicht fertig)

BTW macht der Talk mit Dir viel Freude Wink

EDIT:

Mmh, jetzt passt doch noch was nicht. Denn wenn das mit meiner Überlegung an der Stimmen sollte, dann wären die Scheitel ja gleich. Dann kommen wir so aber nicht auf das k.... verwirrt

Vielleicht mal ein Beispiel:

Da gilt:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=x^2,~p_2(x)=0.5x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z=S_1=S_2 \end{eqnarray*}$

So kommen wir dann nicht ans k. Es müßte $\begin{eqnarray*} P_1(1/1) \to P_2(2/2) \end{eqnarray*}$ werden. Dass führt auf:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{|\overrightarrow{ZP_2}|}{|\overrightarrow{ZP_1}|} = 2 = \frac{1}{0.5} = \frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$

09.05.2007, 14:40

outSchool

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Nach der Kaffeepause
Hallo,
ich bin schon den ganzen Tag am Nachdenken, wie ein allgemeiner Beweis aussehen kann für:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$

Eine graphische Lösung mit einem Beispiel habe ich schon.

Zu deiner Ergänzung: Es ist leider keine zentrische Streckung weil der Scheitelpunkt $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ Urbild- und Bildpunkt ist. Nach Definition geht aber Bildpunkt durch zentrische Streckung aus dem Urbildpunkt hervor.
Zur zweiten Ausführung (Streckenzentrum Z gesucht) habe ich mal eine Lösung.
Gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1(x-u_1)^2+v_1; \hspace{10mm} a_1\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2(x)=a_2(x-u_2)^2+v_2; \hspace{10mm} a_2\neq 0 \end{eqnarray*}$

Unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} k=\frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$ ist richtig, gilt dann:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{a_1}{a_2}= \frac{\mid \vec{ZS_2} \mid }{\mid \vec{ZS_1} \mid } = \frac{\mid \vec{ZS_1} \mid + \mid \vec{S_1S_2} \mid }{\mid \vec{ZS_1} \mid } \end{eqnarray*}$

Nach Umformen ergibt

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{ZS_1} \mid = \frac{a_1}{a_1-a_2} \cdot \mid \vec{S_1S_2} \mid = \frac{a_1}{a_1-a_2} \cdot \sqrt{(v_2-v_1)^2 + (u_2-u_1)^2} \end{eqnarray*}$

09.05.2007, 15:03

tigerbine

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Mittagsschlaf
Mmh, wie kann man denn dann überhaupt die Aufgabe erklären? Da lag doch Z auch auf der Parabel. Und somit hat die Streckung eben einen Fixpunkt. Das müßte doch gehen. verwirrt

Haben wir für zentrische Streckung noch ne andere Quelle als Wikipedia. Ich hab auch was gerechnet, post ich nachher ist noch nicht ganz fertig.

09.05.2007, 16:20

outSchool

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Kaffeeklatsch
Hallo,
wenn das Zentrum auf der Parabel (ausgenommen Scheitelpunkt) liegt, berühren sich die Bild- und Urbild-Parabeln im Zentrum. Das Zentrum muss nicht auf der Parabel liegen. Ich habe das auch erst im Nachhinein bemerkt.
Hammer

An der Behauptung $\begin{eqnarray*} k=\frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$ arbeite ich noch.

Ansage

Noch ein Törtchen.

09.05.2007, 16:24

tigerbine

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Aber bitte mit Sahne

http://www.my-smileys.de/smileys3/kochen.gif

So ganz verstehe ich noch nicht, warum Z nicht der Scheitel sein darf. Ich arbeite auch noch an dem k. Des ist aber auch ein wenig verflixt. Meine Hirnleitung sind heute in analog Geschwindigkeit. Kein DSL verfügbar geschockt

09.05.2007, 16:44

tigerbine

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Zu früh gefreut?
Gegeben:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1 = a_1(x-u_1)^2+v_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_1(u_1/v_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z(x_z /y_z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

Gesucht:

$\begin{eqnarray*} p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2=a_2(x-u_2)^2+v_2 \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} Z=S_1 \Rightarrow S_1=S_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z \neq S_1 \Rightarrow \overrightarrow{ZS_2}=k\cdot \overrightarrow{ZS_1} \end{eqnarray*}$

Dies führt auf das LGS:

$\begin{eqnarray*} 1.~u_2-x_z = k\cdot(u_1-x_z) \Rightarrow u_2= k\cdot (u_1-x_z) + x_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~v_2-y_z = k\cdot(v_1-y_z) \Rightarrow v_2= k\cdot (v_1-y_z) + y_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S_2(u_2/v_2) \end{eqnarray*}$

Um nun noch das $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen zu können, nehmen wir einen Punkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ auf der Parabel 1 (Ungleich dem Streckungszentrum):

$\begin{eqnarray*} P_1(x_{P_1}/y_{P_1}) \end{eqnarray*}$

Dann gilt für seinen Bildpunkt:

$\begin{eqnarray*} {ZP_2}=k\cdot \overrightarrow{ZP_1} \end{eqnarray*}$

Dies führt auf das LGS:

$\begin{eqnarray*} 1.~x_{P_2}-x_z = k\cdot(x_{P_1}-x_z) \Rightarrow x_{P_2}= k\cdot (x_{P_1}-x_z) + x_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~y_{P_2}-y_z = k\cdot(y_{P_1}-y_z) \Rightarrow y_{P_2}= k\cdot (y_{P_1}-y_z) + y_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2(x_{P_2}/y_{P_2}) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Funktion:

$\begin{eqnarray*} y_{P_2}=a_2(x_{P_2}-u_2)^2+v_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\cdot (y_{P_1}-y_z) + y_z=a_2\cdot \Bigl(k\cdot (x_{P_1}-x_z) + x_z-[k\cdot (u_1-x_z) + x_z]\Bigr)^2 + k\cdot (v_1-y_z) + y_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\cdot (y_{P_1}-y_z) - k\cdot (v_1-y_z)=a_2\cdot \Bigl(k\cdot (x_{P_1}-x_z) -k\cdot (u_1-x_z) \Bigr)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\cdot [(y_{P_1}-y_z) - (v_1-y_z)]=a_2\cdot k^2 \cdot \Bigl(x_{P_1}-x_z -u_1+x_z\Bigr)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\cdot [y_{P_1}- v_1]=a_2\cdot k^2 \cdot \Bigl(x_{P_1} -u_1\Bigr)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = k \cdot \Bigl\{a_2\cdot k \cdot \Bigl(x_{P_1} -u_1\Bigr)^2 - [y_{P_1}- v_1]\Bigr\} \end{eqnarray*}$

Für k ungleich 0:

$\begin{eqnarray*} y_{P_1} = a_2\cdot k \cdot \Bigl(x_{P_1} -u_1\Bigr)^2 + v_1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} y_{P_1} \end{eqnarray*}$ auf p1 liegt:

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot \Bigl(x_{P_1}-u_1\Bigr)^2 +v_1=a_2\cdot k \cdot \Bigl(x_{P_1} -u_1\Bigr)^2 + v_1 \end{eqnarray*}$

Damit da P1 nicht der Scheitel war:

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{a_1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{a_2}=k \end{eqnarray*}$

http://www.my-smileys.de/smileys3/banana_1.gif

oder? verwirrt

09.05.2007, 16:51

outSchool

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Noch ein Wiki
Hallo,
für die zentrische Streckung ist definitionsgemäß $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn jetzt das Zentrum Z im Scheitelpunkt der Parabel liegt, liegen die Punkte $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ nicht auf einer Geraden, sondern alle in $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ . Es ist dann $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ . Alle Bildpunkte der Parabel liegen dann im Zentrum.
Wink

09.05.2007, 17:07

tigerbine

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Bockig
Also ich bin immer noch der Meinung, dass der Scheitel auch das Streckungszentrum sein kann, denn eine zentr.Streckung ist wie folgt definiert:

Bei einer zentr. Streckhung S(Z,k) wird jedem Punkt P der "Zeichenebene" genau ein Punkt P' zugeordnet, dabei gilt

Es gibt genau einen Fixpunkt (Z)
Für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} P\neq Z \end{eqnarray*}$ gilt:
p' liegt auf der Geraden ZP und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{ZP'} = k \cdot \overrightarrow{ZP} \end{eqnarray*}$

Vergleiche

Warum sollte also S nicht der Fixpunkt sein. Daraus folgt noch nicht k=0 (was nicht sein darf)...

Ich muss jetzt mal was zur Post bringen... Wink

Hoffentlich gibt's zum Abendessen kein Lammkotelett

09.05.2007, 17:32

outSchool

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Mach die Lichter aus,
Hallo,

Zitat:

Zu früh gefreut?

Du gehst in Flammen auf.

Mit Zunge

Super!

Freude

09.05.2007, 20:10

Poff

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RE: Mach die Lichter aus,
Richtig, der gemeinsame Scheitel ist kein Problem.
Alle Parabeln mit gleicher Lage (zB in Normallage) lassen sich
durch ZS ineinander überführen.

09.05.2007, 20:14

tigerbine

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RE: Mach die Lichter aus,
Hallo Poff,

danke für die Bestätigung. Doch lesen wir deinen Satz genau

Zitat:

Alle Parabeln mit gleicher Lage (zB in Normallage) lassen sich
durch ZS ineinander überführen.

Was ist, wenn sie nicht "in gleicher Lage" sind?

Wink

09.05.2007, 20:38

Poff

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RE: Mach die Lichter aus,
Dann geht es nicht.

Geraden werden in parallele Geraden überführt und daraus folgt dass nicht parallele Parabelachsen (und damit die Parabeln auch) nicht ineinander überführt werden können.

09.05.2007, 20:41

tigerbine

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RE: Mach die Lichter aus,
Vielleicht sagt Du mir noch, was Normallage heißt. Gibt's da eine Definition ?

Danke Dir Wink

09.05.2007, 21:11

Poff

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RE: Mach die Lichter aus,
was Normallage heißt. Gibt's da eine Definition ?

Definition ist vielleicht etwas hochgegriffen. Üblicherweise meint das Parabeln mit Achse parallel zur y-Achse (evtl auch x-Achse). Deine Parabeln von oben wären zB solche. (nicht beiden Typen mischen)

Daneben gibts noch den Begriff Hauptlage, da ist zudem noch der Scheitel in den Ursprung gelegt.

Nimm's nicht zu genau, mitunter wird das auch mal anders benutzt. War nur als Beispiel für eine Klasse von Parabeln gedacht für die das mit der Streckung passt.

Die für die Streckung in Frage kommenden Parabeln dürfen auch schief liegen, nur eben beide dann gleich schief.

09.05.2007, 21:23

tigerbine

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Leider...
muss ich es genau nehmen. Wenn wir mal nur von der geometrischen Form der Parabel ausgehen.

$\begin{eqnarray*} p_1 \text{ wird durch zentr. Streckung zu}p_2 \Rightarrow \text{Parabelachsen sind parallel} \end{eqnarray*}$

Dann gilt ja die Umkehrung:

$\begin{eqnarray*} \text{PAchsen nicht parallel} \Rightarrow p_1 \text{ nicht durch ZStr. in } p_2 \text{überführbar} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun 2 Funktionen zweiten Grades habe, die als Graph eine Parabel haben(*) (das haben wir in den ganzen Rechnungen ja schon getan - Also Wurzelfunktionen rausgelassen Augenzwinkern

Bei dem Titel wohl unsauber), dann sind deren Parabelachen ja schon parallel.

Können wir sie dann immer durch ZStr. überführen? Wir also Oben ein Äquivalentpfeil draus?

Das ist ja nun der Punkt der uns noch fehlt. Ich versuche das gerade für den Fall (*) zu zeigen. Müßte sich aber doch allgemein auf die Zeichenebene übertragen lassen, wenn man Koordinatensystem entsprechend legt, oder?

Wink

09.05.2007, 23:28

Poff

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RE: Leider...

Zitat:

Original von tigerbine
Wenn ich nun 2 Funktionen zweiten Grades habe, die als Graph eine Parabel haben(*) (das haben wir in den ganzen Rechnungen ja schon getan - Also Wurzelfunktionen rausgelassen Augenzwinkern

Bei dem Titel wohl unsauber), dann sind deren Parabelachen ja schon parallel.

Können wir sie dann immer durch ZStr. überführen? Wir also Oben ein Äquivalentpfeil draus?

Ja, das war meine Aussage.
Und das gilt für alle anderen Lagen auch.

Also Wurzelfunktionen rausgelassen Bei dem Titel wohl unsauber)

Würde ich so nicht sagen, ich kenn die auch als Parabeln, unter der Gleichung

y^2 = +-2*p*x mit dem Brennpunkt (+-p/2 ; 0)

Ist letztlich nicht verwunderlich, ist es doch nichts anderes als die andere Form um -+90° gedreht.

09.05.2007, 23:32

tigerbine

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RE: Leider...
Ich meinte damit, dass wir von einer Funktionsgleichung

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1x^2+b_2x+c_2 \end{eqnarray*}$

ausgegangen sind. Also Graphen quadr. Funktion. Das unsauber ging an meine Stelle. Aber quadr. Funktion ist ja nicht in wurzel überführbar, und mit meinem anderen Kommentar, dürfte die eingeschränkte Betrachtung keinen Einfluss haben. Hauptsache die Achsen sind paralell. Meinst Du das mit anderen Lagen?

Wink

09.05.2007, 23:36

Poff

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RE: Leider...
Hauptsache die Achsen sind parallel, genau das meinte ich mit den 'anderen Lagen'.

09.05.2007, 23:38

tigerbine

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RE: Leider...
Schön. Ich versuch das mal mit den Funktionsgleichung aufzuschreiben.

10.05.2007, 02:03

tigerbine

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Absacker
Wir haben nun gezeigt, dass wir zu einer Parabel p1, einen Streckungszentrum Z und einem Streckungsfaktor k eine Parabel p2 durch Zentrische Streckung bestimmen können, indem wir das Bild des Scheitelpunkts bestimmen (liefert 2 Unbekannte) und mit dem nun endlich gezeigten k = a1/a2 (liefert 3te Unbekannte).

Bleibt nun umgekehrt die Frage:

Findet man zu Parabeln in der Zeichenebene immer ein Z und k?
Wie ist der Schnittpunkt (Es kann ja auch mehrere geben) zu beurteilen?

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1,~a_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2,~a_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Gesucht:

$\begin{eqnarray*} Z, k \end{eqnarray*}$

Lösung:

Die beiden Parabelachsen sind hier parallel. Im Falle (a) $\begin{eqnarray*} S_1=S_2 \end{eqnarray*}$ sind sie identisch, daher müssen dann "die" Scheitelpunkte das Streckungszentrum Z sein. Um nun den Streckungsfaktir zu bestimmen, reicht es einen von S verschiedenen Punkt P1 auf der Parabel 1 zu wählen.

$\begin{eqnarray*} y_{P_1} = a_1x_{P_1}^2+b_1x_{P_1}+c_1 \end{eqnarray*}$

Zeichnet man die Gerade durch Z und P1, so erhält man (Taylor Formel)

$\begin{eqnarray*} g(x)=y_Z+\frac{y_{P1}-y_Z}{x_{P_1}-x_Z}\cdot (x-x_Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{y_{P1}-y_Z}{x_{P_1}-x_Z}\cdot x + \Bigl(y_Z-\frac{y_{P1}-y_Z}{x_{P_1}-x_Z} \cdot x_Z\Bigr) \end{eqnarray*}$

Da die beiden Scheitel und Z identisch sind, kann es nur noch einen Schnittpunkt von g und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ geben. Dann gilt für P2:

$\begin{eqnarray*} y_{P_2}=a_2x_{P_2}^2+b_2x_{P_2}+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{P_2}=\frac{y_{P_1}-y_Z}{x_{P_1}-x_Z}\cdot x_{P_2} + \Bigl(y_Z-\frac{y_{P_1}-y_Z}{x_{P_1}-x_Z} \cdot x_Z\Bigr) = m\cdot x_{P_2} + (y_z-m\cdot x_z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0= a_2x_{P_2}^2+\Bigl(b_2-m \Bigr)x_{P_2}+\Bigl(c_2 -y_z + m\cdot x_z \Bigr) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{P_2}=\frac{-(b_2-m) \pm \sqrt{(b_2-m)^2-4\cdot a_2\cdot \Bigl(c_2 -y_z + m\cdot x_z \Bigr)}}{2a_2} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich irgendwie nicht weiter. Ich muss ja berücksichtigen, dass eine Lösung der Scheitel ist. wenn ich dann den Punkt P2 habe, dann muss ich die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P_2Z} = k \cdot \overrightarrow{P_1Z} \end{eqnarray*}$

nach k auflösen. Da sollte dann:

$\begin{eqnarray*} k =\frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$

rauskommen. traurig

10.05.2007, 13:58

outSchool

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Der Tag nach dem Absacker
Hallo tigerbine,
leider konnte ich gestern den Absacker nicht mit Dir teilen, da ich heute morgen um 6 Uhr aufstehen musste. Bist Du noch bockig?
Ich habe mir das mit dem Zentrum im Scheitelpunkt nochmal durch den Kopf gehen lassen. Wenn ich eine andere geometrische Figur nehme, z. B. ein Rechteck oder einen Kreis kann ich ja Z beliebig wählen. Z kann auf der Figur liegen oder auch nicht.
Wenn ich bei der Parabel das Zentrum nicht auf den Scheitelpunkt lege, habe ich es natürlich wesentlich einfacher. Das dürfte beim Kreis mit dem Mittelpunkt genauso sein.
Jedenfalls habe ich mir Deine letzte Berechnung angeschaut. Vielleicht ist es einfacher von der Scheitelpunktform auszugehen. Dann gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{ZP_2} \mid = k \cdot \mid \vec{ZP_1} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{S_2P_2} \mid = k \cdot \mid \vec{S_1P_1} \mid = k \cdot \mid \vec{S_2P_1} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (u - x_{p2}) = k \cdot (u - x_{p1}) + v; \hspace{10mm}u_1=u_2=u; \hspace{10mm} v_1=v_2=v; \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist dieser Ansatz leichter zu rechnen, ich hab's noch nicht probiert.
Wink

10.05.2007, 14:12

tigerbine

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Lammfromm
Nö, bin ich nicht mehr. Denn der Scheitel kann ja das Streckungszentrum sein. Big Laugh

Ich bin nun etwas verzweifelt, wie wir die Umkehrung hinbekommen. Eine Definition der Zentrischen Streckung haben wir ja jetzt. Was fehlt ist jetzt der in einer Vorlesung zu erwartende Satz, wie die Umkehrung ausseiht. Also welche Bedingungen müssen die Objekte, bei uns Parabeln erfüllen, damit man sie durch zentrische Streckung ineinander überführen kann.

Das müßte doch vielleicht auch ohne diese Rechnung gehen. Denn diese Fallunterscheidung, welche der Nullstellen ist dann der Scheitel, finde ich allgemein ziemlich schwer (Scheue mich also gerade vor dem weiterrechnen)

Poff sagte zwar was von parallelen Symmetrieachsen, aber mir fehlt einfach der Beweis der ganzen Sache. So dass aus dem Folgepfeil ein Äquivalenzpfeil wird.

Dann könnte man der ursprünglichen Aufgabe, die Frage:" Ist hier p2 aus p2 durch zentrische Streckung entstanden?", mit einem Satz beantworten. Alles andere, wie unser k wären dann schöne Folgerungen, um sich das Rechenleben einfacher zu machen.

Gruß

10.05.2007, 16:16

outSchool

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Nur nicht aufgeben
Hallo,

die Symmetrieachsen müssen parallel sein, weil sonst eine Drehung zur Streckung hinzukommt. Ist die Form identisch und $\begin{eqnarray*} S_1 \neq S_2 \end{eqnarray*}$ , dann liegt bei parallelen Symmetrieachsen eine Translation, bei nicht parallelen Symmetrieachsen eine Translation und Drehung vor. Für die identische Abbildung gilt:

$\begin{eqnarray*} k = 1 \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} \mid \vec{ZS_1} \mid = \mid \vec{ZS_2} \mid \end{eqnarray*}$

Jetzt zu dem Fall: $\begin{eqnarray*} S_1=S_2=(0|0) \end{eqnarray*}$

Diese Vereinfachung ist möglich, weil die allgemeine quadratische Funktion in Scheitelpunktsform durch Verschiebung des Koordinatensystems in den Scheitelpunkt in folgende Gleichung übergeht:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=a_1\cdot x^{2}; \hspace{5mm} a_1\neq 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} S_1=S_2 \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} p_2(x)=a_2\cdot x^{2}; \hspace{5mm} a_2\neq 0 \end{eqnarray*}$

Für die beiden Punkte $\begin{eqnarray*} P_1, P_2 \end{eqnarray*}$ (durch zentrische Streckung) gilt:

$\begin{eqnarray*} k = \frac{\mid \vec{0P_2}\mid }{\mid \vec{0P_1}\mid } = \frac{x_2}{x_1} = \frac{y_{p2}}{y_{p1}} = \frac{a_2 \cdot x_2^2}{a_1 \cdot x_1^2} = \frac{a_2 \cdot (k \cdot x_1^2)}{a_1 \cdot x_1^2} = \frac{a_2 \cdot k^2}{a_1} \end{eqnarray*}$

Nach Wegkürzen und Umstellen erhält man dann:

$\begin{eqnarray*} k = \frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray*}$

Benutzt wurden die Strahlensätze.

Zunge

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Zentrische Streckung von Parabeln

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