Zentrische Streckung von Parabeln - Seite 2

10.05.2007, 23:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Zäh Mal sehen, ob ich es langsam auch auf die Reihe bringe. Aus der Definition folgt: Eine Eigenschaft einer zentrische Streckung bildet eine Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade ab. Folglich ist es eine notwendige Voraussetzung an die beiden Parabeln, dass ihre Parabelachsen parallel sind. Ist diese Voraussetzung auch hinreichend? Gegeben seien 2 Parabeln in der Zeichenebene mit parallelen Symmetrieachsen. Nun darf man o.B.d.A ein Koordinatensystem derart in die Ebene legen, dass der Scheitel der ersten Parabel im Ursprung liegt. $\begin{eqnarray} p_1(x)=a_1x^2,~a_1 \neq 0,~S_1(0/0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_1:~y= 0 \end{eqnarray}$ Die zweite Parabel hat dann die Gestalt: $\begin{eqnarray} p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2 = a_2(x-u_2)^2+v_2,~a_2 \neq 0, ~S(u_2/v_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_2:~y=u_2 \end{eqnarray}$ *Fall 1: $\begin{eqnarray} S_1 = S_2 \end{eqnarray}$* $\begin{eqnarray} p_2(x)=a_2x^2 = \frac{a_1}{a_2} \cdot p_1(x) \end{eqnarray}$ Somit geht die zweite Parabel aus der ersten durch zentr. Streckung mit dem Zentrum $\begin{eqnarray} Z =S_1=S_2 \end{eqnarray}$ und dem Streckungsfaktor $\begin{eqnarray} k = \frac{a_1}{a_2} \end{eqnarray}$ *Fall 2: $\begin{eqnarray} S_1 \neq S_2 \end{eqnarray}$* Was ist nun, wenn beide Parabeln den gleichen Leitkoeffizienten haben (aber nicht identisch sind)? Fall 2a: Gerade durch die Scheitelpunkte orthogonal zu den Symmetrieachsen. $\begin{eqnarray} p_2(x)=a_1(x-u_2)^2,~u_2 \neq 0 \end{eqnarray}$ Angenommen es gäbe ein S(Z,k), dann müßte Z aufgrund der Scheitellage auf der x-Achse liegen. Es gilt dann: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{ZS_2} = k\cdot \overrightarrow{ZS_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow k=\frac{u_2-x_z}{-x_z} \end{eqnarray}$ Nehmen wir nun einen weiteren Punkt auf der Parabel 1. Wie sieht dann sein Bild aus? $\begin{eqnarray} \overrightarrow{ZP_2} = k\cdot \overrightarrow{ZP_1}~\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x_{P_2}-x_z \\ y_{P_2} \end{pmatrix} = k\cdot \begin{pmatrix} x_{P_1}-x_z \\ y_{P_1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{P_2}= k\cdot x_{P_1}-k\cdot x_z +x_z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y_{P_2}= k\cdot y_{P_1} \end{eqnarray}$ Liegt dieser Punkt auf der Parabel 2? Setzen wir es in $\begin{eqnarray} p_2 \end{eqnarray}$ ein: $\begin{eqnarray} a_1(x_{P_2}-u_2)^2 \stackrel{\mathrm{!}}=k \cdot y_{P_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1(k\cdot x_{P_1}-k\cdot x_z +x_z-u_2)^2 \stackrel{\mathrm{!}}=k \cdot y_{P_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1(\frac{u_2-x_z}{-x_z}\cdot x_{P_1}-\frac{u_2-x_z}{-x_z}\cdot x_z +x_z-u_2)^2 \stackrel{\mathrm{!}}=\frac{u_2-x_z}{-x_z} \cdot a_1\cdot (x_{P_1})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1(\frac{u_2-x_z}{-x_z}\cdot x_{P_1} )^2\stackrel{\mathrm{!}}=\frac{u_2-x_z}{-x_z} \cdot a_1\cdot (x_{P_1})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1 \cdot (\frac{u_2-x_z}{-x_z})^2 \cdot (x_{P_1} )^2\stackrel{\mathrm{!}}=\frac{u_2-x_z}{-x_z} \cdot a_1\cdot (x_{P_1})^2 \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} a_1\neq 0 ,~x_{P_1} \neq 0 \end{eqnarray}$ muss dann gelten: $\begin{eqnarray} \frac{u_2-x_z}{-x_z} = 0 \Leftrightarrow k = 0 \end{eqnarray}$ Damit kann es sich aber nicht um eine Zentrische Streckung handelt. Widerspruch zu Annahme. Also ist dieser Fall nicht möglich. EDIT1: Weitere Fälle folgen... Aber zumindest müßte gezeigt sein, dass die \|\| der Spiegelachsen kein hinreichendes Kriterium ist. EDIT2: Eigentlich dürfte es für a1=a2 nie gehen, oder?
11.05.2007, 00:34	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zäh tigerbine, Gleiche Hauptkoeffizienten und verschiedene Scheitel, stimmt der Fall geht nicht, da liegt das Streckzentrum im Unendlichen
11.05.2007, 12:23	outSchool	Auf diesen Beitrag antworten »
Gala in der Kantine Hallo, für die zentrische Streckung kommen natürlich nur geometrische Flächen in Frage, die nicht kongruent sind, sieht man von der identischen Abbildung ab. Eine Parabel die deckungsgleich ist, lässt sich durch Translation, Rotation, Spiegelung und deren Komposition ineinander überführen. Diese Fälle müssen per Definition ausgeschlossen werden. Mehr später. Gruß

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