zu zeigen: limes & differenzierbarkeit

06.01.2005, 18:14

djbarney

zu zeigen: limes & differenzierbarkeit

Hallo!
Hab ein kleines Problem bei meinem Übungszettel:
Es sei f: (a,b) -> IR stetig und in (a,b)\{x0} differenzierbar.
Zeige: Existiert lim (x->x0) f´(x), so ist f auch in x0 differenzierbar
und es gilt f´(x0) = lim(x->x0) f´(x).

Meine Überlegung war jetzt:
lim(x->x0) f´(x) = c (also nich +/-unendlich)
=> f´ ist differenzierbar in x0
=> f ist differenzierbar in x0

Wer kann mir nen Tipp geben?
Danke...

MfG,
barney Hilfe

06.01.2005, 18:42

Leopold

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Du mußt ja nachweisen, daß

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h} \ \ \text{(}h \neq 0 \text{ genügend klein)} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert besitzt. Verwende dazu den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für das Intervall mit den Endpunkten $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0+h \end{eqnarray*}$ . Er ist anwendbar, denn im Innern dieses Intervalls ist ja $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als differenzierbar vorausgesetzt.

06.01.2005, 19:01

djbarney

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danke, damit kann ich glaub ich was anfangen smile

08.01.2005, 14:14

djbarney

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mein ansatz
Also, ich bin das dann so angegangen:
$\begin{eqnarray*} f(x0+h) - f(x0) = f'(Xi) ([x0+h] - x0) = f'(Xi)*h \end{eqnarray*}$ laut MWS

h immer >0 => Wenn f'(Xi) != 0, so ist f auch in x0 differenzierbar;

dann ist
$\begin{eqnarray*} lim(x->x0) f'(x) = lim(x->x0) (lim(x->x0) (f(x1)-f(x))/(x1-x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = lim(x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0) = f'(x0) \end{eqnarray*}$

Oh Man, mit Latex muss ich aber noch üben...
Hoffe man versteht es.

08.01.2005, 17:04

Mathespezialschüler

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Es ist wirklich nicht gut verständlich, aber ich denke, du machst es dir unnötig schwer!
Ich versteh, was du in der 2. Zeile machen wolltest, aber nicht warum du das machen wolltest?? verwirrt

Und dann: Warum muss h>0 sein? Es kann auch h<0 sein, aber eben nicht h=0!
Warum müsste deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} f'(\xi)\neq 0 \end{eqnarray*}$ sein, damit f in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist??
Du hast irgendwie den Gedanken nicht zu Ende geführt. Nochmal:
Nach dem MW gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi\in (x_0,x_0+h) \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(\xi) \end{eqnarray*}$

Jetzt lasse einmal h gegen 0 gehen, wogegen geht dann $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ??

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}f'(\xi) \end{eqnarray*}$

08.01.2005, 17:29

djbarney

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Wenn ich h->0 gehen lasse, wird f'(Xi) = 0 und Xi = x0,
da das Intervall dann nur aus der Zahl x0 besteht.
Aber wie schließe ich jetzt von da auf die Differenzierbarkeit von f an der Stelle x0?
Hab anscheinend das ganze Beweisverfahren mit dem MWS noch nicht richtig verstanden.

Danke!

08.01.2005, 17:50

Leopold

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Es ist geschickter, den Mittelwertsatz in der folgenden Form zu schreiben (da hierin beide Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ berücksichtigt werden):

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0 + \vartheta h) \ \text{ mit einem geeigneten } \ \vartheta = \vartheta(h) \in (0,1) \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ gehen läßt, steht alles da, denn der Grenzwert rechts existiert nach Voraussetzung (beachte, daß $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ zwar von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ abhängt, mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ aber auch $\begin{eqnarray*} \vartheta h \end{eqnarray*}$ beliebig klein wird).

08.01.2005, 22:23

Mathespezialschüler

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Für die Lösung nochmal siehe Leopolds Beitrag.

Zitat:

Original von djbarney
Wenn ich h->0 gehen lasse, wird f'(Xi) = 0

Wie kommst du denn darauf?

10.01.2005, 21:08

djbarney

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nullchecker
Naja, dachte, dass wenn h->0 geht, der Zähler des Bruchs 0 wird und somit f'(Xi) = 0 wird... verwirrt

10.01.2005, 21:21

Mathespezialschüler

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Nach deinem Denken wäre die Ableitung jeder Funktion an jeder Stelle =0!! Aber das gute an der Differentialrechnung ist ja, dass dieser Grenzwert für h gegen 0 existiert und meistens ungleich 0 ist. Weil der Zähler gegen 0 geht, muss noch lange nicht der ganze Bruch gegen 0 gehen. Der Nenner geht ja auch gegen 0, also würde das ganze gegen $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ gehen, das ist aber nicht definiert. Also kannst du hier nicht h=0 setzen.
Du solltest dir nochmal klar machen, was dieser Grenzwert ist und dir nochmal die Definition der Ableitung angucken!

Denn wenn h gegen 0 geht, dann geht die linke Seite nicht gegen 0, sondern gegen $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ !! Das geht auch aus der Definition der Ableitung hervor bzw. ist grad diese.

11.01.2005, 20:00

djbarney

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stimmt
geschockt

Stimmt, der Nenner würde ja genauso schnell gegen 0 gehen.
Habs mir nochmal angeguckt und (hoffe ich) verstanden.
Danke für deine Hilfe...
barney

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