ultrafilter/hauptfilter

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AnubisTheKing Auf diesen Beitrag antworten »
ultrafilter/hauptfilter
hi,

also ich habe eine Frage zu einer AUfgabe die ich lösen muss. Als erstes hier mal die gegebenen Sachen:

Definition von Ultrafilter:
a) die Leeremenge ist nicht element des Ultrafilters
b) für alle A,B Teilmengen der Natürlichenzahlen gilt: A ist Element des Ultrafilters und A ist Teilmenge von B dann folgt daraus das auch B Teilmenge des Ultrafilters ist
c) für alle A,B Teilmengen der Natürlichenzahlen gilt: A ist Elment des Ultrafilters und B ist Element des Ultrafilters dann folgt daraus das auch A geschnitten B im Ultrafilter liegt
d) für alle A Teilmenge der Natürlichenzahlen gilt: A ist Element des Ultrafilters oder das Komplement von A ist Element des Ultrafilters (kein exclusives Oder)

Definition von Hauptfilter:
Für jede Zahl n Element der Natürlichenzahlen ist X = { A Teilmenge der Natürlichenzahlen | n ist Element von A} ein Hauptfilter.

So das sind die Definitionen die gegeben sind. Die zulösende Aufabe ist folgende:
Beweisen Sie das jeder Ultrafilter der eine endliche Menge enthält ein Hauptfilter ist.

So ich verstehe hier nun einige Sachen nicht. Ich habe das so verstanden, das ein Hauptfilter auf jeden Fall eine Einelementige Menge enthält nämlich das n. Dann wäre aber der Ultrafilter der die Menge {1,2,3} und alle Obermengen von {1,2,3} enthält kein Hauptfilter. Dies müsste er aber sein da er ja eine endliche Menge {1,2,3} enthält. Wo ist hier mein Denkfehler?

Des weiteren soll es angeblich Ultrafilter geben die kein Hauptfilter sind. Dies ist eine weiter Sache die ich nicht verstehe. Gehen wir davn aus man hat einen Ultrafilter U gegeben. Dann schneide ich alle Elemente des Ultrafilters miteinenande Element1 geschnitten Element2 geschnitten Element3 ....
Die Menge die dort rauskommt ist die Menge C die in allen Elementen des Ultrafilters enthalten ist.Diese Menge C darf nicht leer sein denn dann würde es zwei Mengen geben die miteinenader geschnitten die leere Menge ergeben und das darf nach c) nicht sein da nach a) die leere Menge nicht Element des Ultrafilters ist. Also ist C nicht leer und damit gibt es ein ein Element n das in allen Elementen des Ultrafilters enthalten ist und damit ist der Ultrafilter ein Hauptfilter. Wo ist hier mein Fehler? Hiernach wär jeder Ultrafilter ein Haupfilter was aber nicht sein soll, denn auf dem Übungsblatt steht weiter das es Ultrafilter gibt die keine Hauptfilter sind. Diese sollen wohl aus co-endlichen Mengen bestehen.
EIne co-endliche Menge ist eine Menge deren Komplement endlich ist.

Also wenn ihr hierzu irgendwelche Ideen habt oder auch nur Vorschlage dann immer her damit :-).
Bis dann und frohe Weihnachten
AnubisTheKing
dberwanger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ultrafilter/hauptfilter
Frag mal Herrn Prof. E. Grädel von der Uni Aachen, der kennt sich damit aus!

Gruß
* DB
 
 
AnubisTheKing Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antwort aber leider habe ich bei genau dem die Vorlesung und von seinem Assistenten diese Übung bekommen :-) da wird er mir wohl nicht die Lösung verrraten oder bei dem Lösen der Aufgaben helfen :-).
Bis dann
anubistheking
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

3 Mal darfst du raten wer dberwanger ist T_t
netseal Auf diesen Beitrag antworten »
dingsda
b) für alle A,B Teilmengen der Natürlichenzahlen gilt: A ist Element des Ultrafilters und A ist Teilmenge von B dann folgt daraus das auch B Teilmenge des Ultrafilters ist

hea wiso folgt daraus das auch B Teilmenge des Ultrafilters ist?
dberwanger Auf diesen Beitrag antworten »

das folgt nicht beweisbar daraus, das wird so gefordert.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »
Ultrafilter
Hallo,

Du hast eigentlich keinen Denkfehler. Ein Ultrafilter, der {1,2,3} enthaelt, sieht in der
Tat nicht wie ein Hauptfilter aus. Wir wollen aber zeigen, dass er einer ist - entgegen
unserer Intuition. Mit der richtigen Idee ist der Beweis einfach.

Aus den Bedingungen a), c) und d) folgt: Von den Mengen A und seinem Komplement
N\A liegt GENAU eine im Ultrafilter (mindestens eine nach d), waeren beide drin,
dann auch ihr Schnitt, der leer ist).
Wir stellen dann fest, dass das Komplement von {1,2,3} nicht im Ultrafilter
liegt. Angenommen, keiner der Mengen {1}, {2}, {3} laege im Ultrafilter. Dann
liegen aber ihre Komplemente drin. Und damit auch ihr Schnitt, das Komplement von
{1,2,3}. Widerspruch.

Wichtig an letzter Stelle ist, dass wir nur endlich viele Mengen schneiden.
Schnitte von unendlich vielen Elementen des Ultrafilters muessen nicht enthalten
sein. Vielleicht war das ja dein Denkfehler. smile
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