Abstand Punkt-Ebene und andersherum (HesseNormalform) |
| 08.05.2007, 10:53 | LuckyLuke | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abstand Punkt-Ebene und andersherum (HesseNormalform) Ich habe ein wirklich großes Problem .... es geht sich um folgendes: Angenommen ich hab eine Ebene der Form: E: x = (5|0|2)+ lamda(8|-4|-1) +xi(-3|4|-4) Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt einen orthogonalen n Vektor zur Ebene - und zwar (4|7|4) Jetzt kann ich auch die Koordinatenform erstellen: 4x1 + 7x2 + 4x3 = 28 [(5|0|2) als Koordinatenursprung eingesetzt] ----> Hat man jetzt z.B. den Punkt P (2|-3|1) und soll den Abstand berechnen ist das ja klein Problem.... einfach einsetzen; ausrechnen: 4x1 + 7x2 + 4x3 - 28 / sqrt(81) = 8 + (-21) + (-3) - 28 / 9 = - 45 / 9 = -5 |-5| = 5 ---> Der Abstand zwischen P und E beträgt 5 LängenEinheiten. Soweit ist alles richtig, oder !? Jetzt aber zur eigentlichen Frage: Wie kann ich das ganze rückwärts rechnen ? D.h. ich habe die Ebene vorgegeben und suche einen Punkt, der den Abstand 5 hat. Mein Ansatz: 1. Normalenform erstellen: (4|7|4) * [(x1|x2|x3)-(5|0|2)] = 0 2. Daraus dann die HNF erstellen: (4/sqrt81 | 7/sqrt81 | 4/sqrt81) * [(x1|x2|x3)-(5|0|2)] = 5 (gesuchter Abstand) .... und dann nach x1,x2,x3 umformen.... nur wie mach ich das ? ôO 
Das will irgendwie alles nicht so, wie ich das will =/ |
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| 08.05.2007, 11:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Großes Problem: Abstand Punkt-Ebene und andersherum (HesseNormalform) Ein beliebiger Punkt mit Abstand 5? |
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| 08.05.2007, 11:22 | LuckyLuke | Auf diesen Beitrag antworten » |
genau.... einen beliebigen Punkt mit den Abstand 5.... Eine Lösung wär, den n0 Vektor (der ja die Länge 1 hat) mit 5 zu multiplizieren und dann an den Ortsvektor der Ebene zu hängen..... das wär dann ja der Punkt, oder ? Oder gibts noch ne andere Möglichkeit ? |
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| 08.05.2007, 11:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da haste jetzt genau das gesagt, was ich vorschlagen wollte. 
Bei der Gleichung mit x1x2x3 musst du endeken,d ass es janicht nur einen Punkt mit diesem Abstand gibt. |
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| 08.05.2007, 11:26 | LuckyLuke | Auf diesen Beitrag antworten » |
ohje ^^ Sorry 
Naja.... dann kenn ich jetzt zumindest eine Möglichkeit.... Hätt ja nicht gedacht, dass das SO einfach ist ôô Danke trotzdem.... Kennt hier vll. trotzdem noch jemand ne andere Möglichkeit ? Wir hatten im Unterricht was... aber das war so ein leichtes Beispiel, dass x1 und x2 weggefallen sind und nur x3 da stand.... damit konnte man natürlich prima rechnen; aber wie man sonst weiterrechnet mit "vollen" Vektoren ist schon ein Rätsel... ansonsten sollte mir das oben genannte auch weiterhelfen denk ich |
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| 08.05.2007, 11:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du den Gleichungsweg verfolgen willst. Wähle 2 Koordinaten. Aus der Gleichung folgt dann die dritte. |
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| 08.05.2007, 11:45 | LuckyLuke | Auf diesen Beitrag antworten » |
hm.... das passt irgendwie alles nicht.... n Vektor ist ja (4|7|4) ..... daraus mache ich einen Normaleneinheitsvektor.... ergibt sich: (4/9 | 7/9 | 4/9) Multipliziert mit 5 ergibt: (20/9 | 35/9 | 20/9) Addiere (5|0|2) [Ortsvektor der Ebene] - liefert: (65/9 | 35/9 | 38/9) Einsetzen in die Abstandsformel HNF: 4x1 + 7x2 + 4x3 - 28 / 9 .... ist zumindest ungleich 5 !? ôO Oder muss ich jetzt auch durch n0-Vektor-Dingens teilen ? ôO EDIT: PASST DOCH !! Danke 
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| 08.05.2007, 11:59 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Ein recht schneller Weg führt auch über den Ansatz sich eine Ebene zu konstruieren, die zu der gegebenen Ebene parallel mit einem bestimmten Abstand d verläuft. Die Formel dafür habe ich in diesem Thread mal ganz unten gepostet. Abstände Wie schon angedeutet haben natürlich alle Punkte einer solchen parallelen Ebene den Abstand d von der gegebenen Ebene....also gibt es folglich auch unendlich viele Punkte, von denen du dir dann einen aussuchen kannst. Gruß Björn |
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| 08.05.2007, 12:09 | LuckyLuke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das letztere verstehe ich noch nicht ganz so.... aber eine der beiden Möglichkeiten wird mir schon einfallen, wenn ichs benötigen werde.... Danke für eure Hilfe !! 
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