Tangente durch einen vorgegebenen Punkt

08.05.2007, 17:20	dos	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente durch einen vorgegebenen Punkt Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=lnx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ . Welche der Tangenten an den Graphen von f verläuft durch den Koordinatenursprung? Kann man das überhaupt genau lösen, oder geht das nur in Abhängigkeit einer Steigung oder eines Punktes?
08.05.2007, 17:30	Airblader*	Auf diesen Beitrag antworten »
Stelle die Tangente doch mal allgemein auf und überlege dir, was gelten muss, wenn sie durch den Ursprung gehen soll air
08.05.2007, 17:36	dos	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente: $\begin{eqnarray} f(x)=mx+0 \end{eqnarray}$ Ableitung der Funktion: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Es muss gelten: $\begin{eqnarray} f'(x)=m \end{eqnarray*}$ Denn wenn ich den Punkt hab, an dem die Steigung der Funktion m ist, dann kann ich die Geradengleichung bestimmen. Andersrum gilt, wenn ich den Punkt des Graphen hab, an dem die Tangente ist, kann ich die Geradengleichung aufstellen, indem ich davor die Steigung berechne. Also müsste die Lösung in Abhängigkeit der Steigung oder des Punktes bzw. der x-Koordinate sein oder?
08.05.2007, 17:38	Airblader*	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du: $\begin{eqnarray} t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) \end{eqnarray}$ ? Mach das doch mal für dein Funktion mit ganz allgemeinem x0. Dann überlege dir, was für t(x) gellten muss Dann kriegst du eine einfache Log.-Gleichung die du lösen kannst. air
08.05.2007, 17:41	Airblader*	Auf diesen Beitrag antworten »
(Sorry für DP, kann mich hier nicht einloggen) Du hast diese Bedingung für t(x) übrigens schon im Grunde genannt (aber die Tangente solltest du NICHT auch f nennen bei deiner Tang.gleichung. air
08.05.2007, 17:44	dos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Gleichung hab ich davor noch nicht gekannt. Meinst du es in etwa so: $\begin{eqnarray} t(x)=\frac{1}{x}(x-x_0)+lnx_0 \end{eqnarray}$ ?
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08.05.2007, 17:47	Airblader*	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast, eins sollte noch x0 sein. Die Gleichung ist einfach eine allg. Tangentengleichung durch eine Funktion f am Punkt (x0 / f(x0)). Kann man auch herleiten Aber wie gesagt, kleiner Fehler noch. Und was ist dann die Bedingung, dass sie durch den Ursprung geht? air
08.05.2007, 17:51	dos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann so: $\begin{eqnarray} t(x)=\frac{1}{x_0}(x-x_0) \end{eqnarray}$ Richtig so? Jetzt ist die Bedingung für die Ursprungsgerade gegeben.
08.05.2007, 17:54	Airblader*	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Der vordere Teil stimmt, der hintere muss aber hin. Momentan hast du eben keine allg. Geradengleichung (t(x) = mx+c), du musst erst ausmultiplizieren Also $\begin{eqnarray} t(x) = \frac{1}{x_0}(x-x_0) + \ln x_0 \end{eqnarray}$ Wie lautet jetzt die Bedingung? Ich meine nicht zwangsweise c = 0, sondern was bedeutet es für das x und was für den Fkt.wert von t(x), wenn sie durch den Ursprung geht? air
08.05.2007, 18:06	dos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss wirklich nicht, worauf du hinaus willst. Meinst du, dass x größer als 0 sein muss?
08.05.2007, 18:10	Airblader*	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch t(x) = y, ganz salopp gesagt. Was müssen x und y sein, damit t durch den Ursprung geht? Wenn du das dann einsetzst kriegst du ne einfache Gleichung. air

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