Rauminhalte vergleichen zwischen Oktaeder und Tetraeder

08.05.2007, 20:34	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Rauminhalte vergleichen zwischen Oktaeder und Tetraeder hallöle miteinander, ich würd gern mal wieder eure meinungen und verbesserungen zu meinem ansatz erfahren, denn man lernt ja nie aus. also folgende aufgabe soll ich bearbeiten: vergleichen sie den oktaeder-rauminhalt mit dem eines tetraeders der gleichen kantenlänge a. mein ansatz: das tetraeder ist ja ein spezialfall der pyramide: $\begin{eqnarray} V_{pyramide}=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{tetraeder}=\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h=\sqrt{\frac{2}{3} \cdot a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{oktaeder}=\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3 \end{eqnarray}$ so nun setze ich einfach G und h vom tetraeder in die formel für die pyramide und erhalte ja dann genau die formel für den tetraeder, da dieser körper aus 4 gleichseitigen dreiecken besteht und der oktaeder nunmehr aus 8 gleichseitigen (also 4 mehr als der tetraeder) muss ich einfach V(oktaeder)=4*V(tetraeder).....somit komme ich auf die formel für den rauminhalt. reicht diese ausführung aus zur erfüllung der aufgabenstellung oder muss ich da genauer sein und wenn ja wie?! also danke schon mal für eure vorschläge....
08.05.2007, 22:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rauminhalte vergleichen zwischen Oktaeder und Tetraeder Beide haben also die Kantenlänge a. Tetraeder http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif $\begin{eqnarray} V_T \, = \, \frac{\sqrt{2}}{12} \, a^3 \approx 0{,}12 \, a^3 \end{eqnarray}$ Passt Oktaeder $\begin{eqnarray} V_O \, = \, \frac{\sqrt{2}}{3} \, a^3 \approx 0{,}47 \, a^3 \end{eqnarray}$ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Octahedron.jpg/120px-Octahedron.jpg Also ich bin mir jetzt nicht sicher, ob man den Zusammenhang des Volumens über die Vervielfachung der Seitenflächen machen kann, oder ob das hier ein Zufallstreffer ist. Würde mich aber interessieren. Gruß Mein Weg wäre gewesen: Oktaeder lässt sich in 2 Pyramiden aufteilen. Grundfläche a², Höhe $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}}a \end{eqnarray}$ Daher das Volumen: $\begin{eqnarray} V_O=2\cdot \frac{1}{3}\cdot a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}a = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3=4\cdot V_T \end{eqnarray}$
08.05.2007, 22:21	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht auf jeden fall besser aus als mein weg..... aber zwei fragen hätt ich da noch..... wie kommst du denn auf die höhe (oder nen tipp wie ich drauf kommen könnte)....? und wo hast du die coolen grafiken her (ahh ich habs gesehn.....ausm wiki beitrag gell )
08.05.2007, 22:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja von Wiki. Die Höhe bekommt man wie so oft in einer Pyramide. Recktwinklges Dreieck mit Halber Diagonale, Höhe, Kante
08.05.2007, 22:36	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
jawoohl danke für deine hilfe! jetzt check ichs.

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