Cardano-Formel [ehemals: komplexe Zahlen]

08.05.2007, 20:36

Tjamke

Cardano-Formel [ehemals: komplexe Zahlen]

Hallo!

Wir haben als neues Thema letzte Woche die komplxen Zhalen begonne und hatte auf die nächst Stunde ein paar Aufgaben auf. Der Anfang war kein Problem, aber bei ein paar Aufgaben hatte ich dann gar keine Idee, was ich jetzt eigentlich machen muss.
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!

Begründen Sie mit Hilfe der Fromel von Cardano, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}=2 \end{eqnarray*}$

gilt.

Wie gesagt ich habe keine Ahnung... unglücklich

(wusst auch nicht wo ich des komplexe Zahlen hingehören...also gerne verschieben, wenns falsch ist...)

08.05.2007, 21:19

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Na ordne dieser Lösung gemäß Cardano-Formel doch einfach die zugehörigen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ der kubischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^3+px+q=0 \end{eqnarray*}$

zu und zeige, dass 2 Lösung dieser Gleichung ist - letzteres natürlich einfach durch Einsetzen!

08.05.2007, 21:29

Tjamke

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Ah...ok! Danke! smile

Ich habs jetzt versucht. Also q ist ja ganz leicht: q=20 oder?
Aber mit p hab ich irgentwie Probleme...

Es muss ja gelten:

$\begin{eqnarray*} 100-(\frac{p}{3})^{2}=108 \end{eqnarray*}$

und weiter:

$\begin{eqnarray*} -8=(\frac{p}{3})^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -72=p^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-72}=p \end{eqnarray*}$

und jetzt?

08.05.2007, 21:33

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Welche Cardano-Formel verwendest du - ich rede von

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}} \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} q=20 \end{eqnarray*}$ sagst, dann redest du vielleicht von der anderen kubischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^3 - px - q = 0 \end{eqnarray*}$

Das sollte zuerst geklärt werden!

08.05.2007, 21:38

Tjamke

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Ne, ich meine schon die, die du auch geschrieben hast.

aber warum ist dann q falsch? es ist ja q/2=10 also ist q=20, oder nicht?

aber ich hab einen Fehler bei der berechnung von p entdeckt...
es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} 100-(\frac{p}{3})^{3}=108 \end{eqnarray*}$

was dann zu:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-216}=p \end{eqnarray*}$

führt, was hieße p=-6 oder?
Und damit die kubische GLeichung:

x³+6x-20=0

richtig? aber was mach ich dann?

08.05.2007, 21:41

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Mir ging es ums Vorzeichen - letzlich ist es ja dann richtig:

$\begin{eqnarray*} x^3+6x-20 = 0 \end{eqnarray*}$

Und dann? Wenn du schon nicht selber draufkommst, dann lies wenigstens die die Beiträge:

Zitat:

Original von Arthur Dent
und zeige, dass 2 Lösung dieser Gleichung ist - letzteres natürlich einfach durch Einsetzen!

08.05.2007, 21:43

Tjamke

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und dann habe ich es mit der Cardano-Formel bewießen???

Edit: natürlich habe ich das gelesen!!!! unglücklich

aber ich war verwirrt, weil ich gedacht habe ich muss das mit der Cardano-Formel beweißen und irgentwie hab ich mir des anders vorgestellt, als einfach nur einsetzen in die Gleichung...

08.05.2007, 21:58

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Ich hab natürlich angenommen, dass ihr etwas über kubische Gleichungen erfahren habt - u.a.:

Wenn die Diskriminante $\begin{eqnarray*} D=\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3 \end{eqnarray*}$ positiv ist - so wie hier - dann hat die zugehörige kubische Gleichung nur eine reelle Lösung, und zwar die in obiger Darstellung.
Wenn du nun andererseits durch Einsetzen zeigst, dass die Zahl 2 eine Lösung dieser Gleichung ist, dann muss es diese eine reelle Lösung sein. Klar jetzt?

09.05.2007, 19:06

Tjamke

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Ah ok! Danke schöne nochmal für die Hilfe! Aber ich glaube mit dem Thema werd ich noch öfter mal Fragen stellen...irgentwie hab ich nämlich hier mal Probleme in Mathe... Forum Kloppe

Aber trotz allem Danke!!! Mit Zunge

09.05.2007, 19:30

Leopold

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alternativ ohne Cardano:

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \sqrt{3} \right)^3 = \ldots \text{binomischer Lehrsatz} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( 1 - \sqrt{3} \right)^3 = \ldots \text{binomischer Lehrsatz} \ldots \end{eqnarray*}$

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