Integralrechnung mit Abschätzung

08.05.2007, 20:55

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung mit Abschätzung

Hallo,

Angenommen ich habe zwei Funktionen in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ (stetig).

Nun soll ich zeigen, wenn $\begin{eqnarray*} g(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [a,b] \end{eqnarray*}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx = f(\xi )\int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun hatte ich folgende Abschätzung mit Hilfe von Minimum-Satz/Maximum-Satz: (m für Min und M für Max)
$\begin{eqnarray*} m\cdot g(x) \le f(x)\cdot g(x)~dx \le M\cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt nun:
$\begin{eqnarray*} m\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \le M\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Meine Frage nun:
Muss hier eine Fallunterscheidung gemacht werden, ob $\begin{eqnarray*} m\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$ gleich oder größer 0 ist?

Bin über jede Antwort dankbar.

Viele Grüße
-- MrMilk

09.05.2007, 08:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integralrechnung mit Abschätzung

Zitat:

Original von MrMilk
Meine Frage nun:
Muss hier eine Fallunterscheidung gemacht werden, ob $\begin{eqnarray*} m\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$ gleich oder größer 0 ist?

Ich halte es für sinnvoll, eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~g(x)~dx = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~g(x)~dx > 0 \end{eqnarray*}$ zu machen.

Im übrigen mußt du noch voraussetzen, daß f stetig ist.

09.05.2007, 10:01

MrMilk_ng

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

müsste das nicht aus der Voraussetzung reichen, dass f und g in [a,b] stetig ist?

Viele Grüße
-- MrMilk

09.05.2007, 10:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

Irgendwie habe ich das "(stetig)" im ersten Satz überlesen.
OK, das wäre dann geklärt.

09.05.2007, 13:10

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

ich übersehe auch ständig Sachen ;-)

Könntest du vielleicht einmal schaun, ob dieses so richtig ausformuliert ist?

Sie $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow m\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \le M\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = m\cdot 0 \le \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \le M\cdot 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \le \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \le 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung ist, kommt als Zahlenwert immer 0 heras. Somit kann $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt werden.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx = f(\xi ) \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun noch der Fall $\begin{eqnarray*} g(x)>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \overbrace{m\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx}^{>0} \le \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \le \overbrace{M\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx}^{>0} \end{eqnarray*}$

Hier kann nun der Zwischenangewendet werden, da stetig:

Es existiert ein $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\xi)=\xi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(\xi ) \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Wäre dieses so richtig. Hae das Gefühl etwas vergesssen zu haben...

Wäre schön, wenn du mir kurz Feedback geben könntest ;-)

Viele Grüße
-- MrMilk

09.05.2007, 13:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrMilk
Sie $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn, dann g(x)=0 für alle x aus [a; b]

Zitat:

Original von MrMilk
Nun noch der Fall $\begin{eqnarray*} g(x)>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \overbrace{m\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx}^{>0} \le \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx \le \overbrace{M\cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx}^{>0} \end{eqnarray*}$

Hier sollte man sagen, daß m und M Minimum bzw. maximum von f(x) auf dem Intervall [a; b] sind. Dann würde ich so argumentieren, daß es eine Konstante c gibt mit
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx = c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Das eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} m \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le M \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man durch das Integral dividieren und dann den Zwischenwertsatz anwenden, womit es also ein zeta gibt mit:
$\begin{eqnarray*} f(\xi) = c \end{eqnarray*}$

Anzeige

09.05.2007, 13:48

MrMilk_nr

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

vielen Dank für deine Hilfe.
Was ich geschrieben hab, sollte einfach unter den ersten Post, wo schon erwähnt wurde, dass es m und M gibt.

Kann ich den zweiten Fall so lassen oder meintest du beide?
Leider bin ich mir da grade nicht so ganz sicher :-(

Viele Grüße
-- MrMilk

09.05.2007, 14:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte, daß der 2. Fall so formuliert werden sollte, wie ich in dem Beitrag davor geschrieben habe.

So, wie du das geschrieben hast, frage ich mich, auf was du den Zwischenwertsatz anwenden willst.

09.05.2007, 17:01

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich den ersten Fall dann so lassen, wenn ich es umändere in dem ich statt "Sei g(x) = 0" "g(x)=0 für alle x aus [a; b]" schreibe?

Viele Grüße
-- MrMilk

09.05.2007, 18:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

09.05.2007, 20:40

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie ist dieser Tag verflixt. Aber nun habe ich wieder Zeit für Mathe :-)

Noch einmal kurz zu dem zeiten Fall.

Ich weiß durch Satz vom Minimum/Maximum, dass ein solches existiert. Definiere M für Maximum und m für minimum.

Folglich gibt es eine Konstante c wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx = c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Hieraus folgt:

$\begin{eqnarray*} m \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le M \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Durch division mit dem Integral folgt es muss ein c geben mit $\begin{eqnarray*} f(\xi) = c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ . Somit kann nun der ZWS angewendet werden, womit folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(\xi ) \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

Wäre das aus deiner Sichtweise so korrekt?

Viele Grüße
-- MrMilk

10.05.2007, 08:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrMilk
Durch division mit dem Integral folgt es muss ein c geben mit $\begin{eqnarray*} f(\xi) = c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ . Somit kann nun der ZWS angewendet werden, womit folgendes gilt:

Unsauber. Durch Division mit dem Integral folgt m <= c <= M.
Wegen dem ZWS gibt es dann ein zeta in [a; b] mit $\begin{eqnarray*} f(\xi) = c \end{eqnarray*}$ .
Das einsetzen in die Gleichung, wo c definiert wird, und die Behauptung folgt.

10.05.2007, 09:58

MrMilk_nr

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

ich hoffe ich muss dich nicht weiter mit meinen Unfeinheiten nerven, aber kannst du mir so sagen, ob du es nun als sauber bezeichnen würdest?

Wäre dir sehr dankbar.

Ich weiß durch Satz vom Minimum/Maximum, dass ein solches existiert. Definiere M für Maximum und m für minimum.

Folglich gibt es eine Konstante c wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx = c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Hieraus folgt:

$\begin{eqnarray*} m \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le M \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun dividiere durch das Intetral,woraus folgt, dass gilt: $\begin{eqnarray*} m\le c \le M \end{eqnarray*}$
Auf Grund des ZWS muss es ein $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(\xi) = c \end{eqnarray*}$ mit geben. Durch einsetzen folgt hieraus:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(\xi ) \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

In diesem Sinne alles Gute.
Viele Grüße
-- MrMilk

10.05.2007, 10:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider ist noch ein kleiner Bruch in der Logik. Ich stelle das mal um:

Wegen $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~g(x)~dx > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Konstante c mit:

(I) $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx = c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß durch Satz vom Minimum/Maximum, dass ein solches existiert. Definiere M für Maximum und m für minimum.

Hieraus folgt:

$\begin{eqnarray*} m \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le \int_{a}^{b}~f(x) \cdot g(x)~dx \le M \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} m \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le c \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \le M \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun dividiere durch das Integral,woraus folgt, dass gilt: $\begin{eqnarray*} m\le c \le M \end{eqnarray*}$
Auf Grund des ZWS muss es ein $\begin{eqnarray*} \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\xi) = c \end{eqnarray*}$ geben. Durch Einsetzen in (I) folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)g(x)~dx = f(\xi ) \cdot \int_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

EDIT: in der letzten Zeile noch eine formale Änderung eingebaut.

10.05.2007, 10:29

MrMilk_nr

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar.
Vielen Dank für deine ausdauernde Hilfe ;-)

Viele Grüße
-- MrMilk

10.05.2007, 11:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, die einzelnen Schritte sind jetzt klar. Habe in meinem letzten Beitrag noch eine formale Änderung (zum besseren Verständnis) eingebaut.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »