Eigenwerte

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noch..nichtkönner Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte
Also diese Aufgabe find ich ziemlich verzwickt verwirrt ... oder ich steh auf dem schlauch... aber habe auch noch nicht viel tricks... für einen Ansatz wär ich dankbar:

Sei K ein Körper C,B Matrizen und Elemente von Mn(K)
Zeige: CB und BC haben die gleichen Eigenwerte.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

B sollte noch als Invertierbar vorrausgesetz sein seh ich das richtig ? Ohne die invertierbarkeit einer der beiden Matrizen wird es schwer. Ist eine Matrix als invertierbar gegeben kannst Du sehr leicht zeigen das CB und BC ähnlich sind und damit die gleichen Eigenwerte haben.

edit:

Die Invertierbarkeit einer der Matrizen ist sogar Notwendig wie ich gerade sehe:

Seien

Dann ist:



aber



BC hat nur den Eigenwert Null wärend CB die Eigenwerte 1/2 und 0 hat. D.h Invertierbarkeit muss vorrausgesetzt werden, unter diesen Umständen findest Du ganz leicht eine invertierbare Matrix P mit



Diese Matrix P kann man sogar ablesen.
noch..nichtkönner Auf diesen Beitrag antworten »

Mh also das die matrizen invertierbar sein müssen... ist ja nach deinem beispiel ganz klar... aber anscheinend hat unser prof. in der aufgabenstellung die Invertierbarkeit vergessen Augenzwinkern , da ichs nochmal verglichen habe!
die ähnlichkeit hatte ich irgendwie ganz vergessen... Hammer vielen dank!!!
... jetzt ist der rest echt ganz leicht!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mich entschuldigen, das Beispiel oben ist falsch und ich schaffs grade nicht ein inkonsitentes Beispiel zu erzeugen. Die Sache ist das wir für die Aufgabe eine invertierbare Matrix vorrausgesetzt haben und überall wo ich die Aufgabe gesehen hab war sie es auch. Ich überleg noch, aber vielleicht bin ich auch auf dem Holzweg.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar gilt die Behauptung für alle quadratischen (nxn)-Matrizen , denn sei ein Eigenwert von (o.B.d.A sei ), d.h. es existiert ein , so dass



Definiere . Damit gilt



d.h. ist auch Eigenwert von .
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