Integrationsproblem

09.05.2007, 02:11

SilverBullet

Integrationsproblem

Hallo hab hier als Aufgabe die Bogenlänge zu bestimmen und hab beim Integral nen riesen Problem :

Aufgabe : $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac 1 2 x^2 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall [a,b]

Ok also die Länge wäre dann

$\begin{eqnarray*} l(y) = \int_{a}^{b}~\sqrt{1+x^2}~dx \end{eqnarray*}$

dann substituiere ich x = sinh(t) dann folgt dx = cosh(t) dt

und dadurch erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} \int_{sinh(a)}^{sinh(b)}~cosh(t)^2~dx \end{eqnarray*}$

was nichts anderes ist als :

$\begin{eqnarray*} \int_{sinh(a)}^{sinh(b)}~\frac {1+cosh(2t)} {2}~dx \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} F(t) = \frac {e^{2x}} {8} - \frac {e^{-2x}} {8} + \frac x 2 \end{eqnarray*}$

Da setzt ich dann meine Grenzen sinh(b) und sinh(a) ein.

Ok nun die Frage :

Was habe ich falsch gemacht ? Wenn ich das in Derive teste sagt er mit für die Länge der Funktion von 0 bis 2 ist 2.95

Aber bei mir wenn ich dann halt sinh(2) und sinh(0) einsetzte kommt 177 raus.

Was stimmt denn da nicht ?!

Gruß
Marc

09.05.2007, 03:46

cst

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RE: Integrationsproblem
Die Umrechnung der Integrationsgrenzen stimmt nicht. Deine Substitution war ja

$\begin{eqnarray*} x = \sinh t \Leftrightarrow t = Arsinh x \end{eqnarray*}$

demnach muss dein Integral gehen von

$\begin{eqnarray*} \int_{Arsinh(0)}^{Arsinh(2)}~\cosh ^2 t~\dd t \end{eqnarray*}$

Der Rest müssste stimmen.

Wink

cst

09.05.2007, 11:17

Sophie631

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RE: Integrationsproblem
Die Bogenlänge stimmt nicht.
$\begin{eqnarray*} L(y)=\int_{b}^{a}~\mid \mid x \mid \mid~dx=\int_{b}^{a}~\sqrt{x²}~dx=\int_{b}^{a}~\mid x \mid~dx \end{eqnarray*}$
Dann lässt sich das Integral auch ganz leicht berechnen.
Du solltest noch daran denken eine Fallunterscheidung wegen der Interationsgrenzen zu machen, also:
1) a<b<0
2) a<0<b
3) 0<a<b

Viel Erfolg

Sophie631 Freude