Quadraturfehler

06.01.2005, 21:14	Plax	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadraturfehler Hallo, bin gerade fleissig beim Facharbeit schreiben, in der es darum geht ein Integral durch Annaeherung mit dem Sehnen-Trapez-Verfahren und der Simpson'schen Regel auszurechnen. So weit, so gut. Aber aus "Platzgruenden" (Facharbeit waere sonst zu kurz) und wegen der Vollstaendigkeit halber muss ich den Quadraturfehler von beiden Verfahren mit einbringen, am besten mit Herleitung. Mein Problem: Ich habe mir schon einige Herleitungen angeschaut, jedoch enden alle irgendwann bei den Peano-Kerne und bauen vorher schon auf diversen Lagrange-Polynomen auf - nur leider kapiere ich absolut nicht, um was es beim den Peano-Kernen (z.B) geht. Unteranderem meinte mein Lehrer vor den Ferien dazu, es gaebe mehrere Wege ... Kann mir irgendwer helfen? Gibt es wirklich noch andere Moeglichkeiten um auf diesen Quadraturfehler zu kommen? (die nicht ueber die Peano-Kerne gehen...) Ich waere euch sehr dankbar, wenn ihr mir einen Tipp geben oder mir helfen koenntet! Schoenen abend noch Plax
07.01.2005, 12:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es seien $\begin{eqnarray} S_n,T_n \end{eqnarray}$ die Werte, die die Sehnen- bzw. Tangentenregel für das Integral $\begin{eqnarray} \int_a^b~f(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Teilung des Intervalls $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ liefern. Dann gelten die folgenden Abschätzungen: 1. Sehnenregel $\begin{eqnarray} \int_a^b~f(x)~\mbox{d}x \ - \ S_n \ = \ - \; \frac{f''(\eta_1) \cdot (b-a)^3}{12n^2} \ \text{ mit einem geeigneten } \ \eta_1 \in [a,b] \end{eqnarray}$ 2. Tangentenregel $\begin{eqnarray} \int_a^b~f(x)~\mbox{d}x \ - \ T_n \ = \ \frac{f''(\eta_2) \cdot (b-a)^3}{24n^2} \ \text{ mit einem geeigneten } \ \eta_2 \in [a,b] \end{eqnarray}$ 3. Simpsonsche Regel $\begin{eqnarray} \int_a^b~f(x)~\mbox{d}x \ - \frac{1}{3} \left( S_n + 2 T_n \right) \ = \ - \; \frac{f^{\text{IV}}(\eta_3) \cdot (b-a)^5}{2880n^4} \ \text{ mit einem geeigneten } \ \eta_3 \in [a,b] \end{eqnarray}$ (Hier steht rechts die vierte Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ .) Diese Formeln habe ich dem Büchlein Friedhelm Erwe, Differential- und Integralrechnung, Band 2: Integralrechnung, BI Hochschultaschenbücher Band 31, Mannheim 1962 (1976) entnommen. Außer dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung werden keine höheren Instrumente zum Beweis verwendet. Das Büchlein wird es wahrscheinlich nicht mehr im Handel geben. Aber vielleicht findest du es in der Mathematischen Bibliothek der Universität Erlangen. Da könntest du ja auch einmal nach neuerer Literatur zu diesem Thema schmökern.
08.01.2005, 12:40	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das buch von erwe gibt es noch alt aber immer gut werner
08.01.2005, 14:49	Plax	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen lieben dank fuer die schnelle Hilfe. Hast du vielleichte eine Idee, wie ich mit Hilfe des Mittelwertsatzes auf diese Abschaetzungs-Formeln komme? Hab mir in ein paar Buechern die Herleitung mit Hilfe dieses Satez angeschaut, aber irgendwie blick ich da nicht wirklich durch ... :/

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