lineares GLS

09.05.2007, 19:43	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
lineares GLS für welche $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ hat das lineare GLS keine, eine oder unendlich viele Lösungen? $\begin{eqnarray} x_1+2x_2=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1+(a+2)x_2=6 \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt die beiden von einander subtrahierte erhalte ich: $\begin{eqnarray} ax_2=0 \end{eqnarray}$ im lösungbuch steht für $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wie komm ich darauf? wenn ich $\begin{eqnarray} ax_2=0 \end{eqnarray}$ erhalte? wie gehe ich weiter vor? vielen dank im vorraus! gruß, marci
09.05.2007, 23:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Es gibt dabei eigentlich keine Probleme. Richtig ist $\begin{eqnarray} ax_2 = 0 \end{eqnarray}$ Nun gibt es dazu zwei mögliche Fälle: 1. $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 0 \end{eqnarray}$ , Einsetzen in eine der Gleichungen liefert $\begin{eqnarray} x_1 = 6 \end{eqnarray}$ ____________________________________________________ 2. $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \cdot x_2 = 0 \end{eqnarray}$ Dies ist für jedes $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ aus der Definitionsmenge eine wahre Aussage, setze $\begin{eqnarray} x_2 = \lambda \end{eqnarray}$ Wiederum Einsetzen in eine der Gleichungen liefert $\begin{eqnarray} x_1 = 6 - 2\lambda \end{eqnarray}$ ____________________________________________________________ Der Fall mit keiner Lösung kann hier nicht eintreten, denn dazu muss a = 0 sein und damit das System zu einem Widerspruch gelangen. Für a = 0 ist es jedoch abhängig (beide Gleichungen sind identisch). Im Übrigen wird die Lösbarkeit eines solchen Systemes untersucht, indem man den Wert der Koeffizientendeterminante berechnet. Ist dieser ungleich Null, so hat das System immer genau eine Lösung. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & a+2 & \end{vmatrix} = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
09.05.2007, 23:47	Ari	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung für $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ erhält man, wenn man Lösungen für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ sucht, die die Gleichung erfüllen (letztlich verbleibt in dem Fall nur eine Gleichung) und dann aus zwei Punkten eine Gerade konstruiert. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Stützvektor und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Richtungsvektor, da $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Gleichung auch erfüllt. Da sich eine Gerade ergibt, gibt es auch unendlich viele Lösungen. Ist $\begin{eqnarray} a\neq0 \end{eqnarray}$ , dann gilt wie du berechnet hast $\begin{eqnarray} ax_2=0 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} x_2=0 \end{eqnarray}$ und in dem Fall gibt es nur eine Lösung des Gleichungssystems (bzw. der einen Gleichung, denn die zweite Gleichung sieht dann wieder genauso aus wie die erste), nämlich dass $\begin{eqnarray} x_1=6 \end{eqnarray}$ ist.
11.05.2007, 11:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@marci Da du nachweislich gestern im Board warst, hätte ich von dir schon ein Feedback zu diesem Thread hier erwartet! Als erfahrener User solltest den Usus bzw. die Höflichkeit im Forum eigentlich kennen! Not amused mY+
11.05.2007, 16:05	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich weiß, habs irgendwie vergessen, es tut mir leid! zur aufgabe: vielen dank für die bearbeitung, mir wurde es auch sofort klar. wenn am ende dransteht: $\begin{eqnarray} 0=0 \end{eqnarray}$ spricht man doch von Tautologie und das bedeutet, das gleichungssystem ist lösbar und man wählt deshalb $\begin{eqnarray} x_2= \lambda \end{eqnarray}$ ?!
11.05.2007, 17:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
0 = 0 ist eine Identität bzw. wahre Aussage. -------------------- In der Gleichung 0.x = 0 jedoch sollte man daher das x nicht wegfallen lassen, sondern es soll eine Aussageform für den Platzhalter x (Variable) stehen bleiben. Alle Elemente der Definitionsmenge, die - in die Gleichung eingesetzt - zu einer wahren Aussage führen, bestimmen die Lösungsmenge. Desgleichen ist die Gleichung x = x nicht mehr weiter zu vereinfachen (nicht etwa die Unbekannte reduzieren!), sonst bleibt 0 = 0 stehen und das ist eine Aussage, aber keine Aussageform (für die Variable x). Die (identische) Gleichung hat als Lösungsmenge die Definitionsmenge (Grundmenge) mY+
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11.05.2007, 17:33	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
okei alles klar, dankeschön! in solchen fääeln dann einfach $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ (wenns möglich/nötig ist) $\begin{eqnarray} =k \end{eqnarray}$ setzten

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