Doppelsumme

09.05.2007, 21:17

marci_

Doppelsumme

wie rechnet man:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^2~\sum_{k=2}^4~(k^2+2) \end{eqnarray*}$

bzw:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\sum_{i=1}^k~5 \end{eqnarray*}$

vielen dank schonmal,
gruß marci =)

09.05.2007, 21:23

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Na die erste direkt (zumindest über k) - das sind so wenige Summanden, da lohnt sich das Aufstellen einer "allgemeinen" Formel gar nicht.

Und bei der zweiten schön von innen nach außen, als startend mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\sum_{i=1}^k ~ 5 = \sum_{k=1}^n ~ 5k = 5\cdot \sum_{k=1}^n ~ k = \cdots \end{eqnarray*}$

10.05.2007, 16:22

marci_

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also die aufgabe ist nicht direkt für mich und ich hatte diese thema noch nicht behandelt...

wäre es beim ersten dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^2~\sum_{k=2}^4~(k^2+2)=\sum_{n=1}^2~6+11+18=\sum_{n=1}^2~35 \end{eqnarray*}$ ??

und wie kommt bei der zweiten doppelsumme auf einmal das "k" zu stande?
ich verstehe das irgendwie grad nicht...

danke!

10.05.2007, 16:31

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Zitat:

Original von marci_
und wie kommt bei der zweiten doppelsumme auf einmal das "k" zu stande?
ich verstehe das irgendwie grad nicht...

Also das ist doch das banalste, was es im Bereich Summen überhaupt gibt:

Wenn man $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal dieselbe Konstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ summiert, dann kommt $\begin{eqnarray*} C\cdot k \end{eqnarray*}$ raus. So wurde einst die Multiplikation erfunden. Augenzwinkern

In dem Sinne kann natürlich auch die erste Summe endlich mal ausgerechnet werden:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^2~35 = 35\cdot 2 = 70 \end{eqnarray*}$

10.05.2007, 16:37

marci_

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jetzt wirds klar, danke =)

das ergebnis der zweiten ist doch einfach: $\begin{eqnarray*} ...=n*5 \end{eqnarray*}$ ?!

(btw. machen wir sowas beim zivi nicht Augenzwinkern

)

10.05.2007, 17:05

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Nein, das stimmt nicht. Die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

sollte doch bekannt sein, die wusste schließlich schon Klein-Gauß. Augenzwinkern

10.05.2007, 17:16

marci_

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

wenn ich hier doch nun einsetze:

$\begin{eqnarray*} 5* \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =5*1+5*3+5*6=50 \end{eqnarray*}$

aber wenn ichs hier einsetze:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^3~5k=5*1+5*2+5*3=30 \end{eqnarray*}$

wo ist mein fehler?

10.05.2007, 18:09

brain man

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Zitat:

Original von marci_
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

wenn ich hier doch nun einsetze:

$\begin{eqnarray*} 5* \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =5*1+5*3+5*6=50 \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist schlichtweg falsch. Du rechnest mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Laufvariable.

Bei : $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ hast du jedoch gar keine Summe mit

Laufvariable, sondern

musst nur das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einsetzen und fertig. Für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ in deinem Fall gilt :

$\begin{eqnarray*} 5*\sum_{k=1}^3~k = 5*(1+2+3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5*(\frac{3*(3+1)}{2}) \end{eqnarray*}$

10.05.2007, 18:17

marci_

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och ja, ich verstehe...danke!

10.05.2007, 18:19

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Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ wird durch Multiplikation einfach $\begin{eqnarray*} 5\cdot \sum_{k=1}^n k = 5\cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Es macht mich wirklich fassungslos, auf was für merkwürdige "Ideen" für Fehler man doch kommen kann. unglücklich

10.05.2007, 18:30

marci_

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ja ich hab irgendwie das summenzeichen noch bei der formel stehen gehabt...aber das macht ja kein sinn...

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