Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung |
| 07.01.2005, 15:27 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung Ich soll für die Schule ein Referat über Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung halten. Dazu ist es natürlich zuerst einmal notwendig das ich solche Aufgaben verstehe: Folgende Aufgabe/Problematik stellt sich mir: Eine zylinderförmige Dose mit dem Volumen V soll hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering bleiben. Bestimmen SIe Höhe( h) und Durchmesser (d=2r) der Dose. Dafür habe ich (meines Wissens nach) folgende Formeln: V= pi*r²*h F= 2*(2r)²+2*pi*r*h (Mantelfläche und Fläche für Boden/Deckel inkl. Reste) ALso habe ich die Formel für den Volumen nach Anleitung erstmal nach h umgestellt: h= V/(pi*r²) und das dann in die Formel für die Fläche eingesetzt: F= 2*(2r)² + 2*pi*r*(V/pi*r²) Nun muss ich ja ableiten. also weitergedacht wäre dann die Kettenregel dran: f(x) = 8r² + 2*pi*r*g g(x)=V/pi*r² und darin dann die Divisionsregel: g'(x) = ((V)*(pi*r² ) - (V)*(2r)) / (pi*r²)² Bin ich soweit noch auf dem richtigen Weg oder habe ich bis hierhin schon Fehler verursacht? Mfg Gast |
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| 07.01.2005, 15:33 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung du bist fast auf dem richtigen Weg 
deine Formel für F ist falsch, Boden und Deckel haben eine Fläche von jeweils du hast dir richtig das h aus V ausgedrückt und in F eingesetzt und erhältst somit eine Funktion, die nur noch von der Variablen r abhängt (V ist eine Konstante) und jetzt nach r ableiten probiers mal 
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| 07.01.2005, 16:03 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
F= 2*(2r)²+2*pi*r*h (Mantelfläche und Fläche für Boden/Deckel inkl. Reste) ALso die Reste(Der Kreis wird ja aus einem Rechteck ausgestanzt), zählen mit zu dem Material für die Fläche. |
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| 07.01.2005, 16:08 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ist F leicht so angegeben? 
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| 07.01.2005, 16:23 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ka was du mit dem letzten Satz meinst ^^ Naja wenn F(r)= 2*(2r)² + 2*pi*r*(V/pi*r²) so richtig war lag ich dann mit der Kettenregel : f(x) = 8r² + 2*pi*r*g g(x)=V/pi*r² auch richtig? und der und Divisionsregel??? g'(x) = ((V)*(pi*r² ) - (V)*(2r)) / (pi*r²)² Die Lösung muss nacher irgendwie Lauten: h=d= Wurzel³(4V/pi) nach dem Lösungszettel |
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| 07.01.2005, 16:49 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aus der Angabe heraus kann ich nicht ablesen, dass ie Kreise aus einem Rechteck herausgestanzt werden und der Abfall auch zum materialverbrauch hinzukommt. Drum war meine Frage, ob die Formel für f so gegeben war, wie du sie angeschrieben hast. zum anderen. Du brauchst keine Kettenregel: F(r)= 2*(2r)² + 2*pi*r*(V/pi*r²) => => und nun mit Hilfe von Summen- und Potenzregel ableiten falls das mit dem Rechteck nicht stimmen sollte, statt (2r)² einsetzen
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| 07.01.2005, 17:05 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja ich glaube du hast recht mit deiner Vermutung. Unter Berücksichtigung dieser wäre die Formel doch wie folgt: F(r) = 2r² * pi + 2 * V * r^-1 Abgeleitet wäre das dann: F'(r) = 4r * pi + 2 * V * -1r^-2 ? Achja danke schonmal für die Mühen bei einem schwierigen Fall wie mir :> |
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| 07.01.2005, 17:10 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ableitung stimmt 
find ich gar nicht 
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| 07.01.2005, 23:19 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nur wie komme ich jetzt von F'(r) = 4r * pi + 2 * V * -1r^-2 nach der Lösung h= d = Wurzel^3(4V/pi)? Mfg Gast |
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| 07.01.2005, 23:42 | tveir | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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mit der Funktion F'(r) hast du ja die Zielfunktion, mit der du die Fläche der Dose in Abhängigleit von r ausdrückst, schon abgeleitet. Da du ja jetzt die Höhe bei minimalem Flächeninhalt haben willst, musst du die Extremwerte der Funktion berechnen. notwendig: F'(r)=0 und hinreichend F'(r)=0 und F''(r) ungleich 0 (aber das müsstet ihr doch soweit schon gemacht haben, also Kurvendiskussion, sonst wär das ein recht umfangreiches Referat
)habs jetzt nicht nachgerechnet, aber so müsstest du jetzt ein Minimum für r= 1/2 * Wurzel^3(4V/pi) rausbekommen (solang deine Lösung stimmt). Jetzt noch in die Formel für h einsetzen (hast du ja ganz oben schon geschrieben) und dann kommt deine Lösung raus. das wars 
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| 08.01.2005, 13:00 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm da komm ich leider nicht wirklich mit. Ich weiß aus eine Regel das ich F'(r) = 0 = 4r * pi + 2 * V * -1r^-2 habe und alle r's zur 0 rüberschieben muss. (Laienhaft ausgedrückt) Aber nicht wirklich wie. Ich arbeite nach folgendem Beispiel(zweites auf der Seite): http://www.mathematik.de/mde/fragenantworten/erstehilfe/extremwertaufgaben/extremwertaufgaben.html Nur ist da halt keine zweite Variabele V dabei und ich kann deren Lösungsweg auch nicht nachvollziehen:
Wie kommt man von 8*r^2+2/r auf 16r - 2/r^2? Wie kommt man von 16r - 2/r^2 = 0 auf 16r^3 - 2 = 0? Und wie erkennt man dann an der zweiten Ableitung ob es ein Minimal oder Maximalwert ist? Mfg Gast |
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| 08.01.2005, 13:43 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
zu deinem Beispiel: wie schon weiter oben gesagt, ist V keine Variable sondern eine Konstante. mit r² multipliziert oder? => und jetzt die Gleichung nach r lösen und nun zu den anderen Fragen:
1. Ableitung
mit r² multipliziert
f'' < 0 => Maximum f'' > 0 => Minimum |
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| 10.01.2005, 14:31 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So verspätet melde ich mich nochmal.
Verstehe ich nicht. Mir bleibt irgendwie der Zusammenhang von meinem mit deiner Antwort total verborgen. |
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