Exp. verteilt

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Sunyybabe Auf diesen Beitrag antworten »
Exp. verteilt
Wie zeigt man am besten, dass

P(X>Y) = b / (a+b) ist wenn X und Y unabhängig exponentiel verteilt sind, dabei ist a Parameter von X und b der von Y.

Bestimmt muss man hier transformieren, ist es hier sinnvoll zu sagen das a = c * b ist und damit zu arbeiten?
Hab mal durchgerechnet ich hab irgendwie nur müll raus.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exp. verteilt
Du hast mehrere Möglichkeiten:

1) Du betrachtest die Zufallsgröße D=X-Y ("Differenz") und rechnest P(D>0) aus.

2) Du betrachtest die Zufallsgröße Q=X/Y ("Quotient") und rechnest P(Q>1) aus.

Für beides (Differenz/Quotient von unabhängigen Zufallsgrößen) gibt es Transformationsformeln, die du vielleicht schon kennengelernt hast.

Wahrscheinlich ist Variante 1) weniger aufwändig (bin mir da nicht ganz sicher).
 
 
Sunnybabe Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kann ich denn allgemein Transformationsformeln finden, eine Internetseite oder sowas in der Art?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Internetverweis finde ich jetzt nicht, also gebe ich es direkt an:

Die Faltungsformel zur Berechnung der Verteilungsdichte der Differenz D=X-Y zweier unabhängiger stetiger Zufallsgrößen X,Y ist



Und für den Quotienten Q=X/Y erhält man

Sunnybabe Auf diesen Beitrag antworten »


Grenzen sind 0 bis unend.
dabei ist




kommt bei mir raus!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

Einige Anmerkungen:

1.) ist nur für z <= 0 richtig (hast aber Glück, mehr brauchst du hier nicht).

Für z>0 darfst du nicht von 0 bis unendlich, sondern nur von z bis unendlich integrieren!

Grund: Um die Dichtedarstellung verwenden zu dürfen, muss x-z nichtnegativ sein; für x<z ist der Dichtewert 0 einzusetzen.

2.) Gesucht ist letztendlich .

Das heißt, du brauchst die Verteilungsfunktion, und nicht nur die Dichtefunktion der Zufallsgröße D an der Stelle 0.
Sunnybabe Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich eh nur z<=0 brauche (X<=Y)

1 - F_D(0) = 1 - [a/(a+b) * e^{0}] =b/(a+b)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das unter Zuhilfenahme von

,

(gültig nur für alle z <= 0) so berechnet wurde, dann OK. Augenzwinkern
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