stetige funktion

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07.01.2005, 18:19	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
stetige funktion hallo alle zusammen! bin zum ersten mal hier und hoffe ihr könnt mir etws weiter helfen!!!! und zwar soll ich folgende aufgabe lösen: Beweise, das jede injektive stetige Funktion f : R --> R streng monoton ist. was muss ich jetzt genau machen und wie vorgehen!! steh echt aufm schlauch!! wär echt lieb wenn ihr mir helft!!! Danke schon mal!! rose
07.01.2005, 18:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Machs so: Nimm an, f sei nicht monoton. Dann gibt es also vier reelle Zahlen $\begin{eqnarray} x_1<x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3<x_4 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x_3)>f(x_4) \end{eqnarray}$ . Benutze jetzt den Zwischenwertsatz, um einen Widerspruch zur Injektivität herzuleiten! edit: Da muss man ganz schön viele Fallunterscheidungen machen Ich denk nochmal über was anderes nach ...
07.01.2005, 18:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetige funktion Du kannst es z.B. indirekt versuchen: D.h., du weist nach, dass jede nicht streng monotone stetige Funktion f nicht injektiv sein kann, also dass es zwei Argumente u<v mit f(u)=f(v) gibt. Dabei ist der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen äußerst hilfreich. EDIT: Da war wohl jemand etwas schneller, hehe.
07.01.2005, 19:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zwischenwertsatz hilft gar nicht in allen Fällen. Wir nehmen ja erstmal auf jeden Fall an, dass f stetig und injektiv ist. Wäre f nicht monoton, so gäbe es vier Zahlen, sodass ... (siehe oben). Aber was ist, wenn wir gar keine zwei $\begin{eqnarray} x_5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_6 \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} f(x_5)=f(x_6) \end{eqnarray}$ ?!! Die können wir gar nicht immer finden. Man betrachte nur die Funktion $\begin{eqnarray} f(x):=\begin{cases} x+5, & \mbox{für } x\leq 1 \\ \frac{6x}{x-1}, & \mbox{für } x>1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Sie ist injektiv, auf $\begin{eqnarray} (-\infty,1] \end{eqnarray}$ monoton steigend und auf $\begin{eqnarray} (1,\infty) \end{eqnarray}$ monoton fallend, aber unstetig im Punkt 1. Das heißt, es kann auch der Fall eintreten, dass nicht ein Widerspruch zur Injektivität entsteht, sondern zur Stetigkeit. Ein direktes Folgern (, falls möglich) ginge somit wahrscheinlich schneller und einfacher.
08.01.2005, 13:13	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für die hilfe, klingt zwar gerade noch sehr kompliziert aber ich denke das wirkt nur so!!! also nochmal vielen lieben dank liebe grüße rose
09.01.2005, 07:23	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich denke, es ist klar, wie man beweist, dass f auf einem Intervall [a,b] monoton ist. Das Problem ist, dass der Definitionsbereich R ist. Ich hab nen Beweis im Heuser gefunden, das mit dem Intervall kannst du ja mal machen, den Rest kann ich abtippen
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09.01.2005, 14:17	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ja das ist echt lieb von dir! das problem das ich hab ist, das wir das noch nicht wirklich hatten und ich das mit den blöden beweisen echt noch nicht kapiert habe! ich weiß ganz schön traurig, aber ich bekomm das grad einfach alles nicht hin. weiß grad noch gar nicht wie ich die klausur schaffen soll, und abei muss ich sonst ....! naja egal, hast du vielleicht einen tipp wie man das alles richtig gut mal begreift und kapiert. ich hab schon tausend bücher und lesen kann ich auch grins aber irgendwie ist da ne sperre in meinem kopf!!! liebe grüße rose
09.01.2005, 16:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider hab ich keinen Tip, wie man das "kapiert". Aber ich bin überrascht, dass du nicht mal zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf einen Intervall monoton ist Ich tipp den Beweis mal ab. Nehmen wir mal das "monoton steigend". Dann müssen wir ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \forall\ x_1,x_2\in \mathbb R,\ x_1<x_2\ \Rightarrow\ \ f(x_1)< f(x_2) \end{eqnarray}$ gilt. Seien $\begin{eqnarray} x_1\ \mbox{und}\ x_2\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Punkte mit $\begin{eqnarray} x_1<x_2 \end{eqnarray}$ , sonst aber völlig beliebig. Dann gibt es ein Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} x_1,x_2\in [a,b] \end{eqnarray}$ . Für dieses Intervall muss dann doch $\begin{eqnarray} f(a)\neq f(b) \end{eqnarray}$ sein. Sei etwa $\begin{eqnarray} f(a)<f(b) \end{eqnarray}$ . Dann ist für alle $\begin{eqnarray} \xi\in (a,b) \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} f(a)<f(\xi)<f(b) \end{eqnarray}$ . Denn: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nimmt ja auf $\begin{eqnarray} (\xi, b) \end{eqnarray}$ jeden Wert in $\begin{eqnarray} (f(\xi), f(b)) \end{eqnarray}$ an. Wäre also $\begin{eqnarray} f(a)>f(\xi) \end{eqnarray}$ , dann würde $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ nochmal in $\begin{eqnarray} (\xi, b) \end{eqnarray}$ angenommen, Widerspruch zur Injektivität. Ganz genauso sieht man, dass $\begin{eqnarray} f(\xi)<f(b) \end{eqnarray}$ ist. Jetzt zur Monotonie: Wäre $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht streng wachsend auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ , so gäbe es Punkte $\begin{eqnarray} x_3<x_4 \end{eqnarray}$ in [a,b] mit $\begin{eqnarray} f(a)\leq f(x_4)<f(x_3) \end{eqnarray}$ . Auf $\begin{eqnarray} [a,x_3] \end{eqnarray}$ würde dann $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ jeden Wert in $\begin{eqnarray} [f(a), f(x_3)] \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} f(x_4) \end{eqnarray}$ annehmen, obwohl dieser Wert noch einmal in $\begin{eqnarray} x_4\notin [a,x_3] \end{eqnarray}$ angenommen wird, also Widerspruch. Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ streng wachsend und somit ist $\begin{eqnarray} f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray}$ , womit alles gezeigt ist. Wäre am Anfang $\begin{eqnarray} f(a)>f(b) \end{eqnarray}$ gewesen, so hätte man den Beweis ganz analog führen können, man hätte dann ein strenges Abnehmen erhalten.
09.01.2005, 16:45	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ich danke dir von herzen! ja ich weiß das des schlimm ist, ich versuch schon echt mein bestes aber naja hab ich ja schon geschrieben! hab ja mit anderen aufgaben auch so meine schwierigkeiten! ich kann nur mein bestes versuchen, mehr geht nicht! bin leider kein genie!!!! liebe grüße rose
09.01.2005, 16:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du den Beweis wenigstens verstanden?
09.01.2005, 16:56	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das klingt logisch, ist damit jetzt auch die injektiität gezeigt oder muss es dann eine streng monotone stetige funktion auf dem intervall sein??? gruß rose
09.01.2005, 16:58	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh sie ist ja streng wachsend das heißt f ist injektiv!!!!!! oder?? sehe ich doch richtig !!!
09.01.2005, 17:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht verstanden? Die Injektivität muss nicht gezeigt werden, sie ist Voraussetzung
09.01.2005, 17:10	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ok habs jetzt verstanden! werd dich auch net weiter nerven! vielen danknochmal!!! gruß rose

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