Halbebene und Kreisscheibe

10.05.2007, 15:48	studentin_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Halbebene und Kreisscheibe Sei $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{z-i}{z+i} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \setminus \{ -i\} \end{eqnarray}$ . a) Zeige, dass f die obere Halbebene $\begin{eqnarray} \mathbb H = \{z \in \mathbb C : Im{z} >0\} \end{eqnarray}$ bijektiv auf die Einheitskreisscheibe $\begin{eqnarray} \mathbb D = \{w: \|w\|<1\} \end{eqnarray}$ abbildet. [Wir sollen dies mit der Umkehrfunktion zeigen] b) Zeige: Die reelle Achse (also der Rand von $\begin{eqnarray} \mathbb H \end{eqnarray}$ ) wird auf den Rand von $\begin{eqnarray} \mathbb D \end{eqnarray}$ ohne den Punkt 1 abgebildet. c) Bestimme das Bild der positven imaginären Achse. Kann mir irgendjemand paar Tipps geben, wie ich die Aufgabe lösen kann? Vielen Dank schon mal.
10.05.2007, 18:43	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Halbebene und Kreisscheibe zu (a): bestimme doch erstmal die umkehrfunktion! zteige dann, dass das bild von $\begin{eqnarray} f\|_{\mathbb{H}} \end{eqnarray}$ immer in $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ liegt und dass das urbild von $\begin{eqnarray} f(z)\in\mathbb{D} \end{eqnarray}$ ein element aus $\begin{eqnarray} \mathbb{H} \end{eqnarray}$ ist. Die existenz der Umkehrfunktion liefert dann die bijektivität der abbildung. zu (b): analog zu (a), nur für reelle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . zeige: $\begin{eqnarray} \|f(z)\|=1 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} f(z)\neq 1 \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Im z=0 \end{eqnarray}$ . zu (c): siehe (a) bzw (b).
10.05.2007, 19:09	mathe_studentin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich denn am besten die Umkehrfunktion bestimmen?
10.05.2007, 22:53	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
am besten, indem man nach der variablen z auflöst!!!

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