rekursive Folge, die in R aber nicht in Q konvergiert (Wurzel 2) [war: Algebra neue Herausforderung]

10.05.2007, 17:20	abcfde	Auf diesen Beitrag antworten »
rekursive Folge, die in R aber nicht in Q konvergiert (Wurzel 2) [war: Algebra neue Herausforderung] Hier eine neue Chance sich als Algebraiker zu beweisen, denn ich wäre diesmal einfach über eine brauchbare Lösung froh, um sie danach nachvollziehen zu können: Die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ sei rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n = a_n-1 - ({a^2}_(n-1) - 2)/(2a_n-1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n > 0 \end{eqnarray}$ . Die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ beschreibt somit die auftretenden Werte des Newtonverfahrens mit Startwert $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ für das Polynom $\begin{eqnarray} x^2 -2 \end{eqnarray}$ und konvergiert gegen die positive Nullstelle $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ (und für alle Folgeglieder gilt $\begin{eqnarray} a_n > 0 \end{eqnarray}$ ). Zeigen Sie induktiv, dass $\begin{eqnarray} a_n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und folgern Sie daraus, dass die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ zwar in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , nicht aber in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ konvergiert. Schönen Tag wünscht, Marius EDIt: Latex, Brüche \frac{}{}
10.05.2007, 17:29	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Das hat nichts mit Algebra zu tun, das ist pure Analysis. Und wie die Aufgabe zu lösen ist steht ja auch schon dabei, nämlich durch vollständige Induktion nach n. Der Startwert liegt in Q, also auch a_1, a_2, ... Nutze dazu die Abgeschlossenheit von Q bezgl. Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion. Gruß, therisen
10.05.2007, 17:37	abcfde	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vorerst mal. Marius

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