Konvergenzradius

07.01.2005, 20:53	Stirnlappenbasilisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Hallo liebe Matheboard Gemeinde Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Ermitteln sie den Konvergenzradius von $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~a_n z^{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \ a_n = a^{n}+ b^{n} mit a,b \in \mathbb C, \mid a \mid \neq \mid b \mid \end{eqnarray}$ In R würde ich eine Fallunterscheidung machen (falls das eleganter geht wäre ich auch nicht abgeneigt das zu erfahren), aber wie mache ich das in C? Und gibt es eine Formel für $\begin{eqnarray} \ a^{n} in \mathbb C (a^{n} + b^{n} in \mathbb C) \end{eqnarray*}$ , womit man hier vll besser arbeiten kann, bzw allgemein? Danke im Voraus. PS: Wie krieg ich spaces im latex code rein?
07.01.2005, 22:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \|b\|>\|a\| \end{eqnarray}$ . Schreibe dann: $\begin{eqnarray} a^n + b^n = b^n \left( 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^n \right) \end{eqnarray}$ und verwende Hadamard. Der Fall $\begin{eqnarray} \|a\|>\|b\| \end{eqnarray}$ erledigt sich durch Vertauschen der Rollen von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ .
08.01.2005, 00:00	Stirnlappenbasilisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, habe so meine beiden Konvergenzradien leicht ausrechnen können.
09.01.2005, 11:46	Stirnlappenbasilisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir nochmal Gedanken gemacht gehabt und bin auf folgendes Problem gestoßen, wäre nett wenn ihr mir meinen Fehler zeigen könntet. Sei $\begin{eqnarray} \|b\|>\|a\| \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a^n + b^n = b^n \left( 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^n \right) \end{eqnarray}$ Dann ist R= $\begin{eqnarray} \frac{1}{L} \end{eqnarray}$ mit L=lim sup $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\mid a_n \mid} \end{eqnarray}$ . In C gelten ja: (1): $\begin{eqnarray} \mid z_1 z_2 \mid = \mid z_1 \mid * \mid z_2 \mid \end{eqnarray}$ (2): $\begin{eqnarray} \mid z_1+ z_2 \mid \leq \mid z_1 \mid + \mid z_2\mid \end{eqnarray}$ Also hier: $\begin{eqnarray} \mid b^{n} * \left( 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^{n} \right) \mid \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \mid b^{n} \mid * \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid \left( 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^{n} \right) \mid \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \mid b \mid^{n} * \mid \left( 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^{n} \right) \mid \end{eqnarray}$ Nach (1) und für den zweiten Term gilt: $\begin{eqnarray} \mid ( 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^{n})\mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq 1 + \mid\left( \frac{a}{b} \right)^{n}\mid \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 1 + \mid (\frac{a^{n}}{b^{n}})\mid \end{eqnarray}$ ist nach (1) = $\begin{eqnarray} 1 + (\frac{\mid a^{n}\mid}{\mid b^{n}\mid} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 1 + (\frac{\mid a\mid^{n}}{\mid b\mid^{n}} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 1 + (\frac{\mid a\mid} {\mid b\mid})^{n} ) \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \frac{\mid a\mid} {\mid b\mid} \end{eqnarray}$ nach Voraussetung immer kleiner 1 ist, ist der Term im $\begin{eqnarray} \lim_{n \to\infty} (\frac{\mid a\mid} {\mid b\mid})^{n} \end{eqnarray}$ gleich 0. Also ist L = lim sup $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\mid b^n * 1 \mid} \end{eqnarray}$ = b, also R= $\begin{eqnarray} \frac{1}{\mid b\mid} \end{eqnarray*}$ Edit: Den Schmarrn hier hab ich hier mal lieber wieder gelöscht, danke Leopold.
09.01.2005, 12:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Schluß hast du wohl das Wurzelziehen unterschlagen: $\begin{eqnarray} \|a\| = 2,\!5 \ ; \ \|b\| = 2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Und eine Ungleichung der Art $\begin{eqnarray} \|a\| < \|b\| \end{eqnarray}$ ist natürlich zu $\begin{eqnarray} \|a\|^2 < \|b\|^2 \end{eqnarray}$ äquivalent. Das braucht man nicht nachrechnen. Das muß so sein (8²=64, nicht 16). Allerdings ist dein Verfahren zur Berechnung des Konvergenzradius nicht ganz in Ordnung. Zunächst einmal ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray} R = \frac{1}{\|b\|} \end{eqnarray}$ (du hast da die Betragsstriche unterschlagen). Aber deine $\begin{eqnarray} \limsup \end{eqnarray}$ -Berechnung stimmt nicht (man kann hier wegen der Existenz des Grenzwertes übrigens $\begin{eqnarray} \lim \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \limsup \end{eqnarray}$ nehmen), da du nicht bei einem Teilterm zum Grenzwert übergehen kannst, während du vom Gesamtterm den Grenzwert noch nicht berechnet hast (deine 1 ist also falsch). Wegen $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^n \right) = 1 \end{eqnarray}$ ist der Betrag dieses Ausdrucks nach unten und oben beschränkt, d.h. es existieren reelle $\begin{eqnarray} m,M>0 \end{eqnarray}$ , so daß für fast alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ (hier sogar für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ) gilt: $\begin{eqnarray} m \leq \left\| 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^n \right\| \leq M \end{eqnarray}$ Da die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Wurzel streng monoton wachsend ist, folgt also: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{m} \leq \sqrt[n]{\left\| 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^n \right\|} \leq \sqrt[n]{M} \end{eqnarray}$ Da die Ausdrücke links und rechts aber gegen 1 streben, gilt das auch für den Ausdruck in der Mitte: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left\| 1 + \left( \frac{a}{b} \right)^n \right\|} = 1 \end{eqnarray}$ Und mit dieser Vorarbeit kannst du jetzt die Hadamardsche Formel anwenden.
09.01.2005, 13:13	Stirnlappenbasilisk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius Ahhhhhhhh schon blöd wenn man auch beim fünften mal nachrechnen immer an derselben Stelle denselben dummen Fehler begeht... Ja die Betragsstriche beim Radius hab ich hier nur vergessen dazuzuschreiben. Naja und ich bin mal wieder etwas ungenau gewesen beim Grenzwert, auch wenns hier ja vom Ergebnis her nichts ausmacht, danke für die genaue Form.
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