Wurzeln Ableitungen

07.01.2005, 21:10

Kira 007

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Wurzeln Ableitungen

da der andere Thread schon sehr lang ist dachte ich mal ich mache einen neuen auf.

Hab jetzt noch mal eine Aufgabe gerechnet

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären wie man das nun zusammenfasst mit Latex

Zusammenfassung ?

Dann kann ich mir denn Latexcode mal ansehen

07.01.2005, 21:13

Mathespezialschüler

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Was willst du denn da noch zusammenfassen? Buschmann

Buschmann

Das is doch schon zusammengefasst, man könnte höchstens wieder umschreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

07.01.2005, 21:17

Kira 007

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[quote]Original von Mathespezialschüler
Was willst du denn da noch zusammenfassen? Buschmann

Buschmann

Das is doch schon zusammengefasst, man könnte höchstens wieder umschreiben

[latex]\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=

Super Danke jetzt weiß ich wie es geschrieben wird.

Wäre es auch richtig wenn ich noch eine 2 auf der Wurzel l hätte

schreibt man das dann genauso mit Latex

Gruß Kira

07.01.2005, 21:17

JochenX

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RE: Wurzeln Ableitungen

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$

und ganz wichtig: das hat nichts mit lösen zu tun.
das obere ist eine von x abhängige Funktion (also wäre so etwas wie f(x)=, g(x)=... davor nett), die du nach x ableiten willst.
vor deine ableitung gehört dann f'(x)=... oder ähnlich.
bitte achte auf die ausdrucksweise!

Zitat:

Kann mir jemand erklären wie man das nun zusammenfasst mit Latex

Zusammenfassung ?

Dann kann ich mir denn Latexcode mal ansehen

ist das jetzt eine frage wegen LaTeX oder wegen der Aufgabe?!

mfg jochen

07.01.2005, 21:22

Kira 007

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[quote]Original von Mathespezialschüler
Was willst du denn da noch zusammenfassen? Buschmann

Buschmann

Das is doch schon zusammengefasst, man könnte höchstens wieder umschreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{2}\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Ja ich hatte so etwas raus weiß jetzt nicht ob das auch stimmt die 2 sollte eigentlich auf die Wurzel

07.01.2005, 21:26

Mathespezialschüler

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@Kira
Hab ich schonmal gezeigt

\sqrt[n]{x} ergibt $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$

Also: \sqrt[2]{x} ergibt $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{x} \end{eqnarray*}$

unglücklich

unglücklich

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07.01.2005, 21:27

JochenX

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dann machs mal so: (latex] \frac{1}{2*\sqrt[2]{x}}[/latex] [natürlich mit eckigen klammern bei latex vorne].

mfg jochen

manchmal ganz praktisch: http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

07.01.2005, 21:30

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt[2]{x^1}} \end{eqnarray*}$

Danke jetzt weiß ich es wie man es schreibt

Wäre das richtig

07.01.2005, 21:36

JochenX

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Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt[2]{x^1}} \end{eqnarray*}$

Danke jetzt weiß ich es wie man es schreibt

Wäre das richtig

die frage zuletzt verstehe ich nicht so recht, in bezug auf die vorige aussage.... ja so isses richtig getext, aber die hoch 1, sowie die 2 bei der wurzel kannst weglassen.....

07.01.2005, 21:39

Kira 007

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Das einzige was ich jetzt noch nicht weiß ist wie man die 2 oder 3 ableitung bildet ansonsten ist es klar

endlich hat ja auch lange genug gedauert

07.01.2005, 21:41

Mathespezialschüler

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Du meinst die 2. oder 3. Ableitung? Die 2. Ableitung kriegst du, wenn du die 1. ableitest, die 3., wenn du die 2. ableitest usw.

07.01.2005, 21:47

Kira 007

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das ist schon klar aber wie die erste ableitung von dieser Aufgabe war ja

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

und nun verwirrt

verwirrt

07.01.2005, 21:51

JochenX

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nun wieder ableiten, indem du den konstanten faktor (1/2) beibehältst, die hochzahl als faktor vorziehst (-1/2) und danach um einen erniedrigt (x^(-1,5)).
was kommt dann raus?

mfg jochen

07.01.2005, 22:00

Kira 007

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Ah so Ok

Meine lösung

2. Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}} \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt[2]{x^3}} \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

07.01.2005, 22:09

JochenX

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das ganze noch *(-0,5), weil du die von der hochzahl herunterholst......

07.01.2005, 22:15

Kira 007

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Ah weiß jetzt nicht was Du meinst

kannst Du es mir mal zeigen

07.01.2005, 22:21

JochenX

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$
gesucht f'(x)=?

f'(x)=0,5*.... denn 0,5 ist ein konstanter faktor.
f'(x)=0,5*(-0,5)*.... (wir holen die -0,5 von der hochzahl als faktor nach vorne)
f'(x)=0,5*(-0,5)*x^(-3/2) (wir ziehen von der hochzahl 1 ab, -0,5-1=-1,5)

ergebins also: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4*x^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

kannst antürlich ^(1,5) auch als wurzel schreiben.....

klar jetzt?

mfg jochen

07.01.2005, 22:32

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß nicht so richtig ich weiß halt nicht warum das 1/2 konstant ist das immer bei der 2. ableitung so

wäre das für die 3. auch dann so.

konstant heist dass dass bei allen Ableitungen gleich ist ? verwirrt

verwirrt

ist mir noch nicht so klar traurig

traurig

07.01.2005, 22:48

DerEierMann

Auf diesen Beitrag antworten »

Regel: Konstate Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.
:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^n \end{eqnarray*}$ (a ist irgendeine Reelezahl)
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a\cdot [x^n]' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=a\cdot [x^n]'' \end{eqnarray*}$ ...usw.

07.01.2005, 22:50

Kira 007

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Ja aber woran erkenne ich was eine konstante ist

und wie kommt lord auf das Ergebnis

07.01.2005, 23:02

DerEierMann

Auf diesen Beitrag antworten »

Jede reele Zahl ( $\begin{eqnarray*} 1,2,3,4,5,6,7,\frac{1}{2}.. \end{eqnarray*}$ usw ist eine Konstante, eine Konstante ist eine Zahl die im Term eben Konstant bleibt und sich nicht verändert.
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Variable.

Beispiel:
1.

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$
Der konstante _Faktor_ ist $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} g(x)=5x^2+1 \end{eqnarray*}$ ; 1 und 5 sind Konstante, 5 ist aber ein konstanter Faktor (Er wird ja mit x multipliziert).

LOED kommt auf das Ergebniss weil du hattest ja:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist hier der konstante Faktor, also bleibt der erhalten..

07.01.2005, 23:07

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

OK also sind Zahlen konstante und Buchstarben variable

die 1/2 ist bei mir in der aufgabe die konstante meinst Du nicht die 1/2 Potenz stimmts.

Wie rechne ich dann nochmal die 2. ableitung zum mitschreiben.

wäre bei der dritten ableitung dann auch 1/2 der konstante faktor.

kannst Du mir die einzelnen rechenschritte nochmal erklären dann kann ich es besser nachvollziehen.

Gruß Kira

Danke für die Hilfe

könnte man es so sagen das konstante Abgeleitet werden variable nicht sie bleiben enthalten ?

07.01.2005, 23:29

DerEierMann

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, also wir gehen von der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ aus.

1. -Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ bleibt erstmal unberührt.
2. Wir differenzieren(leiten ab) $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [x^{-\frac{1}{2}}]'=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
3.Nun Multipliziere den konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ . Das macht gleich:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Biss jetzt alles verständlich?

So nun der letzte Schritt ist es einfach umzuschreiben, denn wir wissen $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{x^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

07.01.2005, 23:30

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kira 007
OK also sind Zahlen konstante und Buchstarben variable

die 1/2 ist bei mir in der aufgabe die konstante meinst Du nicht die 1/2 Potenz stimmts.

Wie rechne ich dann nochmal die 2. ableitung zum mitschreiben.

wäre bei der dritten ableitung dann auch 1/2 der konstante faktor.

kannst Du mir die einzelnen rechenschritte nochmal erklären dann kann ich es besser nachvollziehen.

Gruß Kira

Danke für die Hilfe

könnte man es so sagen das konstante Abgeleitet werden variable nicht sie bleiben enthalten ?

hallo kira,
mach mal eine pause
damit du aus dem wirbel mit konstanten und variablen rauskommst:
wenn da steht f(x) = ....., dann ist die variable das x
und nur das x
und konstante -> constans: beständig, gleichbleibend, variable -> variabilis: veränderlich.
(das heißt aber nicht, x ist konstant, weil du immer x für x schreibst
x ist deshalb die variable, weil du dafür verschiedene werte einsetzen kannst, z.b. wenn du die funktion zeichnen sollst, während da alle anderen werte (konstanten) eben unverändert bleiben)
wenn du die 2., 3. ableitung bilden willst, gelten die selben regeln wie bei der 1.
bis morgen
werner

07.01.2005, 23:35

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich gebe Dir echt ich sollte mal eine Pause machen

Dann kann ich morgen weiter machen

leitet man denn beides hab oder nur die variablen und die konstanten bleiben enthalten?

07.01.2005, 23:40

DerEierMann

Auf diesen Beitrag antworten »

Man leitet alles ab, ausser konstante Faktoren.
Mach nun eine Pause smile

smile

.

07.01.2005, 23:53

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich das gar nicht twingend wissen was was ist.

das verwirt mich nämlich total

In der schule haben wir es nämlich nicht besprochen

08.01.2005, 11:53

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mal kurz zürück zur 1. Ableitung

Beispiel

$\begin{eqnarray*} 5\sqrt{x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}x^{\frac{-1}{5}} \end{eqnarray*}$ 1. Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5*\sqrt[1]{x^5}} \end{eqnarray*}$

Müsste richtig sein oder

08.01.2005, 12:05

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

nö....
forme doch erst einmal um.....

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4}=x^{\frac{4}{2}}=x² \end{eqnarray*}$

ansonsten hast du: $\begin{eqnarray*} 5*x^{\frac{4}{2}}=5*\frac{4}{2}*x^{\frac{4}{2}-1}=10x \end{eqnarray*}$
5 ist wieder der konstante faktor, der bleibt erhalten, die 4/2 als hochzahl wird vorgezogen und anschjließend wird der exponent um einen verniedrigt.
danach bissl ausrechnen und fertig.
viel schneller natürlich, wenn du das erst vereinfachst (s.o.).

Zitat:

original von EierMann
$\begin{eqnarray*} g(x)=5x^2+1 \end{eqnarray*}$

EierMann meint hier 5 sei ein konstanter faktor, während 1 nur ein konstanter summand ist, da er nicht mit irgendwas von x abhängigem multipliziert wird.
das kannst du auch so auffassen:
$\begin{eqnarray*} g(x)=5x^2+^*x^0 \end{eqnarray*}$ .
dann ist es wieder ein konstanter faktor, aber da du hinten beim ableiten die 0 als faktor nach vorne ziehst wird dann der ganze hintere teil 0.

mfg jochen

edit: latex durch quote ersetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

und: nicht mal deine umformung stimmt kira! wenn du im zähler x^(-1/5) hast, dann verschiebst du es als x^(1/5) in den nenner.
das ist aber fünfte WURZEL(x) und nicht 1. wurzel aus x^5.....
zumal, was soll denn erste wurzel sein?

allgemein gilt: $\begin{eqnarray*} x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a} \end{eqnarray*}$

edit2: edit verbessert

08.01.2005, 12:23

Freelancer

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht meinte Kira ja

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{x^4} \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

08.01.2005, 12:25

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry meine wirklich das was Freelancer meinte

Sorry wegen der Schreibweise kein wunder das dadurch missverständnisse auftreten

ist die Aufgabe dann richtig

08.01.2005, 12:27

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist der erste ableitungsschritt richtig, ja Freude

Freude

aber die umformung zum letzten schritt ist falsch, s. mein beitrag unten (edit: ach welch süßer fehler, natürlich mein beitrag oben )....
und gewöhne dir bitte f(x)=.... und f'(x)=....., f''(x)=.... an

mfg jochen

08.01.2005, 12:34

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5*\sqrt[5]{x^1}} \end{eqnarray*}$

böse

böse

ich glaube ich bin immer etwas schnell dadurch passieren dann so doofe Fehler

08.01.2005, 12:38

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

jupp, das solltest du dir abgewöhnen....
solche fehler werden dich in klassenarbeiten sonst noch viele wichtige punkte kosten......
aber jetzt scheinst du es ja ganz gut kapiert zu haben, also immer fleißig weiterüben, weiterüben, weiterüben......
hast du selbst noch aufgaben (mathebuch etc., am besten mit Lösungen zum vergleichen) oder brauchst noch welche?!

mfg jochen

08.01.2005, 12:44

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem Mathebuch sind solle Aufgaben gar nicht drin Big Laugh

Big Laugh

Habe dann noch eine gerechnet

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^7} \end{eqnarray*}$

f' (x) = $\begin{eqnarray*} \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{2*\sqrt[2]{x^5}} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich nur noch lernen wie man die 2 .bzw. 3 Ableitung bildet

08.01.2005, 12:48

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

nö, das ist wieder falsch......

wieso wandert die $\begin{eqnarray*} x^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$ in den nenner?
die bleibt schön im zähler stehen.....
vorher war das immer was anderes, denn da hattest du - im exponenten.
es gilt ja: $\begin{eqnarray*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{eqnarray*}$

die 2. ableitung findest du (wie schon mal gesagt), indem du diese ableitungsprozedur nochmal auf die erste ableitung loslässt.....
also (f')' bilden.......

mfg jochen

ps: danke für das f'(x), jetzut nächstes mal noch f(x= vor den ausgangsterm schreiben..... für die 2. ableitung machst du dann 2 striche (f''(x)=...) usf.

edit: LaTeXCode korrigiert

08.01.2005, 14:36

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe ich jetzt nicht

wie würde die erste ableitung denn lauten

08.01.2005, 14:38

JochenX

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Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^7} \end{eqnarray*}$

f' (x) = $\begin{eqnarray*} \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

da steht sie Augenzwinkern

Augenzwinkern

das ist ja richtig....
nur der nächste umformungsschritt ist dann falsch

08.01.2005, 14:40

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok aber wie müsste der denn heißen das verstehe ich jetzt einfach nicht?

08.01.2005, 14:40

PK

Auf diesen Beitrag antworten »

eben und du kannst das zweite aus dem Zitat als Wurzel schreiben.

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