Äquivalenz, Verträglichkeit von Normen

11.05.2007, 09:13	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz, Verträglichkeit von Normen Guten Morgen, wir nehmen gerade das im Betreff beschriebene Thema durch. Dazu gibt es selbstverständlich auch ein paar Übungsaufgaben, mit denen ich nicht so wirklich zurecht komme. Vielleicht habt ihr ja den ein oder anderen Tip für mich. 1) Zeige, dass für $\begin{eqnarray} A \in \mathbb K^{n,n} \end{eqnarray}$ normal, gilt: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2=\rho(A) \end{eqnarray}$ 2) Gegeben sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb K^{n,n} \end{eqnarray}$ .Zeige: $\begin{eqnarray} n^{-0.5}\|\|A\|\|_2\leq \|\|A\|\|_1\leq n^{0.5}\|\|A\|\|_2 \end{eqnarray}$ 3) Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb C^{n,n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \rho(A)<1 \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} (1\| - A)^{-2}A=\sum_{n=1}^{\infty}~nA^n \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \rho(A) \end{eqnarray}$ wird der Spektralradius bezeichnet. Zu 1) und 3) habe ich überhaupt keine Idee und zur zweiten Aufgabe, geht es ja darum die Äquivalenz zu zeigen, dass sollte ich mit Hilfe des Skripts hinbekommen, aber wie ist diese \|\| \|\|_1 Norm wohl definiert? MfG
11.05.2007, 10:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz, Verträglichkeit von Normen Rückfrage: Wie habt ihr normale Matrizen definiert? Ich kenne da für $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ nur die Möglichkeiten $\begin{eqnarray} \mathbb R,~\mathbb C \end{eqnarray}$ reeller Fall: $\begin{eqnarray} A^T\cdot A = A\cdot A^T \Leftrightarrow \exists~ U\in U(n):~U^TAU=D \end{eqnarray}$ komplexer Falll: $\begin{eqnarray} A^\cdot A = A\cdot A^* \Leftrightarrow \exists~ U\in U(n):~U^AU=D \end{eqnarray}$ Dabei ist D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A als Einträgen. Hier mal die p-Normen
11.05.2007, 16:13	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi tigerbine, deine Definitionen sind korrekt, genauso haben wir sie definiert. Könntet ihr noch etwas über die Aufgaben sagen?
13.05.2007, 08:45	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß hier wirklich keiner rat? ich komme nicht weiter

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