Zerlegung in Primideale

11.05.2007, 19:16

e^x^2

Zerlegung in Primideale

guten Abend liebe Mathematiker,

Aufgabe:
Bestimme die Zerlegung in Primideale von $\begin{eqnarray*} (1 + \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1 - \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [\sqrt{-5} ] \end{eqnarray*}$ .

weiß einer wie das geht??

12.05.2007, 00:37

Abakus

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RE: Zerlegung in Primideale
Vielleicht hilft der Zusammenhang zwischen Primidealen $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ und Primelementen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ? Ebenso kannst du Überlegungen mit der Norm anstellen.

Grüße Abakus smile

13.05.2007, 11:02

e^x^2

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RE: Zerlegung in Primideale
mit der Norm hab ich auch schon versucht.......
$\begin{eqnarray*} N(1-\sqrt{-5}) = (1-\sqrt{-5})*(1+\sqrt{-5}) = 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N(1+\sqrt{-5}) = (1+\sqrt{-5})*(1-\sqrt{-5}) = 6 \end{eqnarray*}$
da 6 keine Primzahl ist, muss $\begin{eqnarray*} x:= (1+/- \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ reduzibel sein......aber wie´s weiter geht weiß ich leider nicht...

13.05.2007, 12:04

Abakus

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RE: Zerlegung in Primideale
Du kannst schauen, welche Faktorisierungen von 6 in Frage kommen und welche Elemente dann jeweils die Norm 1, 2, 3, oder 6 haben. Daraus müssten sich Schlüsse ziehen lassen dann.

Grüße Abakus smile

13.05.2007, 13:01

e^x^2

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RE: Zerlegung in Primideale
Norm 1 hat nur die zahl 1,
2 und 3 sind Primzahlen, also gibt es keine Elemente die Norm 2 oder 3 haben,
und Norm 6 haben die Zahlen $\begin{eqnarray*} 1 +/- \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$
andererseits ist 6=2*3...

.....versteh aber immer noch nicht wie ich auf das Ergebnis komme...

13.05.2007, 15:54

Abakus

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RE: Zerlegung in Primideale
$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ hat natürlich auch die Norm $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst jetzt überlegen, ob $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ usw. ein Primelement ist oder nicht. Die Teiler hast du ja identifiziert.

Dann brauchst du nur noch den Zusammenhang zwischen Primelementen und Primidealen benutzen.

Grüße Abakus smile

13.05.2007, 16:48

e^x^2

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RE: Zerlegung in Primideale
also ich würde sagen, dass $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 - \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ Primelemente sind, und damit auch irreduzibel.

zum Zusammenhang zw. Primelementen und Primidealen: (p) ist genau dann ein Primideal, wenn p ein Primelement ist.

....und wie geht´s weiter? verwirrt

13.05.2007, 17:53

Abakus

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RE: Zerlegung in Primideale
Jetzt kannst du beide Aussagen zusammensetzen und bist fertig.

Grüße Abakus smile

13.05.2007, 17:57

e^x^2

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RE: Zerlegung in Primideale
heißt es dann, dass es keine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 - \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ gibt??!! verwirrt

13.05.2007, 18:15

Abakus

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RE: Zerlegung in Primideale

Zitat:

Original von e^x^2
heißt es dann, dass es keine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 - \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ gibt??!! verwirrt

Beide sind selbst Primideale. Du kannst die Argumentation aber nochmal auf Fehler durchgehen und alle nötigen Voraussetzungen überprüfen.

Grüße Abakus smile

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