Zweifache Reihen

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bixi Auf diesen Beitrag antworten »
Zweifache Reihen
Hallo!!!
Ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe, wo es um Zweifache Reihen, unter anderem geht:

Angabe:
Zeigen Sie:


Ich habe jetzt einmal probiert die Zweifache Reihe aufzulösen (eine Art Matrixschema) und dann die Reihe irgendwie neu zu ordnen. Das funktionierte aber nicht. Schon alleine deswegen, weil bei der linken Reihe nur positive Summanden kommen.

Jetzt habe ich gehofft, dass vielleicht irgendwer einen anderen Vorschlag hat, wie ich diese Gleichheit zeigen kann!!!
Hilfe !!!!!!!!!!!!!
Vielen Dank für eure Hilfen!!!
lg Bixi

edit: latex verbessert (MSS)
matze2002 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweifache Reihen
ich glaube wir hatten mal ne ähnliche aufgabe... und da habe ich es mit induktion gezeigt..... vlt geht es ja auch hier... musst du mal probieren...
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweifache Reihen
Nur mal zu meinem Verständnis:

Steht das k unter dem Bruchstrich als Faktor neben (4n-2)² oder als Potenz neben der 2, also (4n-2)^(2k) ?

Ich vermute mal, dass im ersten Fall die Reihe divergiert, was nicht zur rechten Seite der Gleichung passen würde.
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

die Idee besteht darin, die beiden Summen zu vertauschen, damit man das darf, müsste man erst zeigen, das die Summe absolut konvergent ist. Man kann sich hier aber darum drücken weil alle Summanden positiv sind (nur deshalb klappt das) Man rechnet einfach los und nimmt an die Summe sei absolut konvergent, wenn etwas sinnvolles herauskommt, war die Summe absolut konvergent und die Annahme war in Ordnung, wenn nicht divergiert die Summe bestimmt gegen plus unendlich und ist nicht wohldefniert.
dann zur Verständnisfrage von etzwane, nach dem vertauschen der Summen sieht man, das die Reihe so wie sie dasteht, divergiert (harmonische Reihe 1/k)
Wenn man das k auch mit in die Potenz setzt, divergiert die gesamte Summe auch, also könnstest du bitte noch mal genau nachgucken, wie die Aufgabe formuliert ist?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quarague
Wenn man das k auch mit in die Potenz setzt, divergiert die gesamte Summe auch, also könnstest du bitte noch mal genau nachgucken, wie die Aufgabe formuliert ist?


Ja aber ..., ich habe doch genau hingeguckt, denn auf der rechten Seite steht die Reihe

1/2*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 +-...usw.)

Fällt dir was auf, oder bin ich blind?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht meint die Fragestellerin ja auch

?

(LaTeX kann schon ein Problem sein.)

Und jetzt Vertauschung der Summenreihenfolge (wie oben schon begründet), und dann geometrische Reihe - sollte klappen.


EDIT: Sorry, etzwane - hatte das von dir glatt überlesen. Hammer
 
 
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gehen wir mal aus von



weil dann die Aufgabe wohl auch Sinn macht.

Jetzt würde ich versuchen, für k=1, k=2, k=3 usw. die ersten Glieder der Reihen aufzuschreiben und zu summieren, Stichwort geometrische Reihe, und dann mal weiter sehen.
bixi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

danke für eure antworten, und entschuldige, dass ich die angabe so undeutlich hingeschrieben habe.

@etzwane: das problem ist ja, dass weder n, noch k fest sind. das heißt, es gibt ja unendlich viele möglichkeiten, wie ich k und n kombiniere. ich kann, z.b. n=1 und k=1 setzen, genauso n=3 und k =1 oder n=1 und k=5,...

und in der angabe steht (wortwörtlich) "zeigen Sie:" und dann kommt der ausdruck.

das heißt eigentlich muss ich, soweit ich das verstanden habe, zeigen, dass beide gegen denselben grenzwert konvergieren?!?
aber damit habe ich ja noch nicht die gleichheit.
im prinzip (theoretisch) ist ja nur eine gleichheit gegeben, wenn sowohl die linke seite die summe s hat, als auch die rechte seite die summe s.

bei der rechten seite kann ich mir den limes noch ausrechnen, aber wie mache ich das bei einer zweifachen reihe?!?
kann mir wer helfen, in unserem skript steht dieses kapitel total unübersichtlich!!!

Danke, im Voraus
lg bixi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bixi, ganz offenbar hast du unsere Beiträge nicht durchgelesen - nicht mal den letzten, ziemlich kurzen von etzwane - Schade! unglücklich

Ich wiederhole also etzwane: Versuche doch mal die Reihe



zu berechnen! Schreibe z.B. mal die ersten Glieder auf (k = 1, 2, 3, ....) auf, das ist nämlich eine geometrische Reihe (bezüglich Index k)



jetzt musst du "nur" noch rauskriegen, wie groß jetzt hier das q ist, und kannst dann den Reihenwert berechnen.

Dann sehen wir weiter.
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist doch, das die rechte Seite konvergiert (zB wegen Leibnizkriterium) aber die rechte Seite sowohl in der Variante in der bixi sie geschrieben hat, also auch in der korrigierten (so wie sie Arthur Dent getext hat) divergiert. In dieser Form kriegt man eine konvergente geometrische Reihe in den k und die Summation über die k fällt weg, aber die Summation über die n danach ist divergent.
bixi Auf diesen Beitrag antworten »

ok,
danke ich werde es einmal probieren.
lg bixi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quarague
aber die Summation über die n danach ist divergent.


Irrtum, sie konvergiert - vielleicht hast du das Quadrat übersehen (also (4n-2)² statt (4n-2)). Augenzwinkern
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch mal versucht, die ersten Glieder der Summe auszurechnen (eigentlich nur, um zu sehen, dass ich nicht total falsch liege, und da mir die Umformung zur rechten Reihe nicht gelingt):

S = 1/3 + 1/35 + 1/99 + 1/195 + 1/323 + 1/483 +.... < pi/8
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du



meinen solltest, irrst du dich: Es ist .
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe ich gemeint.

Ich habe mich falsch ausgedrückt und hätte besser die Punkte +... weggelassen, weil ich nur die ersten 6 Glieder zusammengezählt habe.
bixi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich muss nocheinmal nerven!!! Inzwischen habe ich das mit den Zweifachen Reihen durchblickt (zumindestens so halbwegs). Ich habe das Problem schon fast gelöst, aber mir fehlt noch der entscheidende Sprung und ich habe gehofft, dass mir den vielleicht irgenjemand gibt!!!

Also zuerst einmal habe ich eben gezeigt, dass die zweifache Reihe konvergiert.

Dann habe ich einmal probiert das Beispiel ein bisschen "aufzulösen":
Ich habe festgestellt, dass

durch Induktion.
Dann kann ich die rechte Seite (ohne Zweifache Reihe) wie folgt aufschreiben:

Ich kann dann zwar die Summen durch die obere Induktion ersetzen, doch wie kann ich dann noch zeigen, dass dieser Ausdruck=der Zweifachen Reihe ist?
Oder reicht da, glaubt Ihr, einfach, dass beide Summen als Grenzwert 0 haben?!? Und war dann eigentlich das, was ich oben gemacht habe mehr oder weniger um sonst?!?
Um Ideen wäre ich dankbar!!!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bixi
Ich habe festgestellt, dass

durch Induktion.


Wie das? Das ist nämlich falsch.

Zitat:




Eine (nach Leibniz-Kriterium) konvergente Reihe mit endlichem Grenzwert G hast du mit dieser Gleichung folgendermaßen umgeformt:

.

Merke: Reihenumordnung ist nur gestattet bei absolut konvergenten Reihen.
bixi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!!

Tut mir Leid. unglücklich Ich habe gerade festgestellt, dass latex und ich sich nicht verstehen!!!
Tut mir Leid! Ich habe das - auf der rechten Seite ausgebessert auf ein +. Jetzt müsste es stimmen!

Aber ich glaube, dass ich das garnicht beweisen muss, sondern dass ich mir einfach die Grenzwerte ausrechnen muss und bei gleichen Summen weiß ich ja dann, dass die Ausdrücke gleich sind.

Auf jeden Fall tut es mir Leid, dass ich in diesem Forum (vorallem mit latex) soviel Scheiße reingeschrieben habe!!!

Das nächste Mal werde ich mir die Vorschau 100 Mal anschauen und dann erst reinstellen.

Na gut
lg Bixi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja alles sehr schön (Induktion ist übrigens maßlos übertrieben, eine einfache Indexverschiebung hätte es auch getan), aber inwieweit führt dich das zum Ziel? verwirrt

Wir hatten ja oben schon die (wegen der Positivität der Reihenglieder links) erlaubte Vertauschbarkeit der Summation von k und n vorgeschlagen, und deutlich zu verstehen gegeben, dass dann bei der Summation über k eine einfache geometrische Reihe entsteht. Wenn du die ausrechnest, "verschwindet" links das k und es bleibt nur noch eine einfache Reihe bezüglich n übrig, die dann nach leichter Umformung eine deutlich erkennbare Ähnlichkeit mit der rechten Seite aufweist.

Du musst unsere Vorschläge natürlich nicht befolgen, kannst uns aber auch ruhig mal vertrauen. Augenzwinkern
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