doppellösung?

12.05.2007, 17:34	Ling-Ling	Auf diesen Beitrag antworten »
doppellösung? Sagen wir, ich soll die Gleichung $\begin{eqnarray} x^3 -12x -16=0 \end{eqnarray}$ auf Vorhandensein einer Doppellösung prüfen. Nur verstehe ich gar nicht, was der Begriff Doppellösung überhaupt bedeutet
12.05.2007, 17:42	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
ich vermute mal, Doppellösung meint eine Lösung mit algebraischer Vielfachheit 2, dh. wenn p(x) dein Ausgangspolynom ist und x0 deine Doppellösung ist, dann lässt sich das zerlegen in: p(x) = (x - x0) ^2 * r(x) wobei r(x) ein Polynom ist, das einen um 2 verminderten Grad bezüglich p(x) hat. Tipp für die Lösungen: Teiler des konstanten Terms...
12.05.2007, 17:47	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe davon aus, dass das heißen soll, dass die Gleichung sozusagen zwei Lösungen hat, die aber die gleiche sind. (Im Rahmen der Linearen Algebra sagt man dazu dann auch "Lösung der algebraischen Vielfahheit 2", aber in einem spezielleren Zusammenhang.) Die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 - 4x + 4 = 0 \end{eqnarray}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray} x_1=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=2 \end{eqnarray}$ , 2 ist also eine Doppellösung. In deinem Fall heißt das, dass sich das Polynom wie folgt darstellen lassen müsste, wenn es eine Doppellösung gäbe: $\begin{eqnarray} x^3-12x-16=(x-a)^2(x-b) \end{eqnarray}$ Du kannst die rechte Seite ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich machen.
12.05.2007, 19:19	Ling-Ling	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hatte ich auch vermutet. danke euch! Stimmt es, dass die erste Ableitung von f(x) an einer Nullstelle mit Doppellösung auch Null geben muss?
12.05.2007, 19:58	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f(x)=(x-x_0)^2\cdot g(x) \end{eqnarray}$ mit differenzierbarem $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat bei $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ eine Nullstelle, ist differenzierbar und es ist $\begin{eqnarray} f'(x)=2(x-x_0)\cdot g(x) + (x-x_0)^2\cdot g'(x) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f'(x_0)=0 \end{eqnarray}$ .

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