Kreisintegralberechnung

12.05.2007, 19:41

Milkaschokolade

Kreisintegralberechnung

Hallo,

wir sollen das Kreisintegral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{a^2-x^2} ~dx \end{eqnarray*}$ mit der Substitutionen $\begin{eqnarray*} x = a*\sin(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx = a* \cos(u) du \end{eqnarray*}$ berechnen.

Nach der Substitution gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos^2u * a^2~du \end{eqnarray*}$

Mit der Vereinfachung $\begin{eqnarray*} cos^2(u) = 0,5(1+\cos(2u)) \end{eqnarray*}$ komme ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~0,5a^2 + 0,5a^2*cos(2u)~du \end{eqnarray*}$

Dies ist dann gleich

$\begin{eqnarray*} [0,5a^2*u + 0,25a^2*sin(2u)]_{}^{} \end{eqnarray*}$

Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} [0,5a^2* \arcsin(\frac{x}{a} )+ 0,25a^2*sin(2\arcsin(\frac{x}{a})]_{}^{} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich leider erstmal nicht weiterrechnen...

Laut Formelsammlung muss das Integral folgendes sein:

$\begin{eqnarray*} [0,5a^2* \arcsin(\frac{x}{a} )+ 0,5x*\sqrt{a^2-x^2}]_{}^{} \end{eqnarray*}$

Hab ich was falsch gemacht oder kann ich da noch drauf kommen? Der erste Summand stimmt ja schonmal...

12.05.2007, 20:10

sqrt(2)

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Deine Stammfunktion stimmt. Mit $\begin{eqnarray*} \sin 2x = 2\sin x\cos x \end{eqnarray*}$ kommst du auf

$\begin{eqnarray*} \sin(2\arcsin(x/a))=2x/a\cdot \cos\arcsin(x/a) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} \end{eqnarray*}$ (für die relevanten x) und damit

$\begin{eqnarray*} \cos\arcsin(x/a) = \sqrt{1-x^2/a^2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}a^2 \end{eqnarray*}$ davor haust, passt es.

13.05.2007, 01:35

Milkaschokolade

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Ok danke, da wäre ich alleine wohl eher nicht draufgekommen.

Noch zwei Fragen: Man kann zwar jeder Formelsammlung die vorgeschlagenen Substitutionen meines Profs entnehmen (bzw. er hat nur die erste angegeben, die für dx hab ich dann rausgesucht). Aber kann man auch durch irgendwelche logischen Überlegungen selbst drauf kommen?
Irgendwie check ich z.B. nicht so ganz, ob man für dx dann einfach die Ableitung der Substituion einsetzt und noch ein du hinterherschreibt. Das war ja in diesem Fall so.

Dann noch eine zweite Frage:

Der zweite Teil der Aufgabe lautet: "Berechnen Sie danach die Fläche der Ellipse b²x²+a²y²=a²b²"

Muss ich dafür das Kreisintegral aus der 1. Teilaufgabe kennen?? Steig da noch nicht so durch.

EDIT: Das ist ja einfach nur die allgemeine Ellipsen-Gleichung. Die Fläche einer Ellipse ist $\begin{eqnarray*} A=\pi ab \end{eqnarray*}$ . Was soll ich da dann wie und womit berechnen?

13.05.2007, 01:54

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Milkaschokolade
Noch zwei Fragen: Man kann zwar jeder Formelsammlung die vorgeschlagenen Substitutionen meines Profs entnehmen (bzw. er hat nur die erste angegeben, die für dx hab ich dann rausgesucht). Aber kann man auch durch irgendwelche logischen Überlegungen selbst drauf kommen?

Das ist Intuition und Erfahrung. Fürs Integrieren gibt es keine festen Regeln.

Zitat:

Original von Milkaschokolade
Irgendwie check ich z.B. nicht so ganz, ob man für dx dann einfach die Ableitung der Substituion einsetzt und noch ein du hinterherschreibt.

So kann man es ausdrücken.

Zitat:

Original von Milkaschokolade
Der zweite Teil der Aufgabe lautet: "Berechnen Sie danach die Fläche der Ellipse b²x²+a²y²=a²b²"

Muss ich dafür das Kreisintegral aus der 1. Teilaufgabe kennen?? Steig da noch nicht so durch.

Das Kreisintegral ist sehr nützlich. Forme nach y um und integriere von -a bis a.

Zitat:

Original von Milkaschokolade
EDIT: Das ist ja einfach nur die allgemeine Ellipsen-Gleichung. Die Fläche einer Ellipse ist $\begin{eqnarray*} A=\pi ab \end{eqnarray*}$ . Was soll ich da dann wie und womit berechnen?

Wenn du auf diese Fläche kommst, weißt du, dass du es richtig gemacht hast. Aber irgendwoher muss ja die Formel aus deiner Formelsammlung auch kommen.

13.05.2007, 14:04

Milkaschokolade

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Hab das jetzt mal gemacht und es kommt wirklich $\begin{eqnarray*} A=\pi ab \end{eqnarray*}$ raus (nachdem ich dann meinen TR in RAD umgestellt hatte^^).

Wieso muss ich denn genau von -a nach a integrieren?

EDIT: Bzw. was ist an einer Ellipse a und b? Ich finde irgendwie keine gescheite Zeichnung in meinen Büchern...

2. EDIT: Ah, Zeichnung gefunden. Von -a nach a ist also die "x-Länge" der Ellipse. Wenn ich die aber integriere, müsste ich dich irgendwie nur die Fläche unter der Kurve erhalten... (Das bedeutet ja integrieren...) Aber wieso bekommt man beim Integrieren dann die Fläche der Ellipse?

13.05.2007, 14:47

sqrt(2)

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Naja, du solltest natürlich schon auf die Hälfte der Ellipsenfläche kommen.

13.05.2007, 15:19

Milkaschokolade

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Naja, eigentlich dachte mich mir eben, dass das schon stimmt, bis ich den Beitrag gerade gelesen habe....

Man hört doch nicht nur im positiven y-Bereich einer Funktion, sondern auch im negativen... Soll heißen die Fläche unter der x-Achse wird einfach mit berechnet.

Mein Rechenweg:

Nach Umstellung der gegebenen Ellipsengeichung komme ich auf
$\begin{eqnarray*} y=\frac{b}{a}*\sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Dies integriere ich dann von -a bis a und erhalte folgenden Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}*[0,5a^2*arcsin(\frac{x}{a})+0,5x*\sqrt{a^2-x^2}]_{-a}^a \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze fallen die zweiten Summanden weg, da die Wurzel 0 wird. Übrig bleibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}*(0,5a^2*arcsin(\frac{a}{a})-0,5a^2*arcsin(\frac{-a}{a})) = \pi ab \end{eqnarray*}$

Stimmt da jetzt was nicht oder was war bzgl. der halben Ellipsenfläche gemeint?

13.05.2007, 22:43

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

13.05.2007, 22:55

Milkaschokolade

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Ja ok, da habe ich irgendwie ein 0,5 unterwegs verloren...

Aber: Ich verstehe nicht, wieso man bei der Integralberechnung nur im positiven y-Bereich die Fläche berechnet... Man kriegt doch immer alles was unter der Kurve ist. Gut die Kurve geht "unten" weiter...

Vilt. kannst du mir das noch erklären?

EDIT: Ist es, weil man die Ellipsenfunktion nur auf den oberen Teil beschränkt, da die Ellipse an dich keine Funktion ist, da einem x-Wert zwei y-Werte zugeordnet sind??

13.05.2007, 22:59

sqrt(2)

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Wenn du die Kurve nach y umformst, kriegst du erstens aufgrund der Wurzel nur den oberen Teil der Kurve. Zweitens gibt dir das Integral immer (bitte dieses Wort nicht mathematisch exakt interpretieren) die Fläche zwischen Kurve und x-Achse.

13.05.2007, 23:05

Milkaschokolade

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Habs in meinem oberen EDIT schon vermutet.

Danke!

03.06.2007, 13:13

Milkaschokolade

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Hallo nochmal!

Heute sollen wir das Kreisintegral mittels pertieller Integration lösen.
Die Aufgabe lautet:

Das Kreisintegral lösst sich auch durch Umformung $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2-x^2}= \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \end{eqnarray*}$ und mittels partieller Integration lösen. Führen Sie des durch!

Ich habe zweimal partiell integriert und nun folgenden Term:

$\begin{eqnarray*} a^2*arcsin\frac{x}{a}-x^2*arcsin\frac{x}{a}+2x\sqrt{a^2-x^2}+2\int_{}^{}~x*arcsin\frac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit schonmal? Ich weiß jetzt nicht, wei ich weiter vorgehen soll. Wenn ich den ersten Summanden hinter dem Integralzeichen mit partieler Integration zu integrieren versuche, komme ich irgendwie immer wieder auf denselben Ausdruck hinter dem "neuen" Integralzeichen.

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

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