allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

08.01.2005, 14:58	minerva	Auf diesen Beitrag antworten »
allgemeine Lösung der Differentialgleichung: Hallo, stehe vor einem Problem und zwar diese Aufgabe: x^3y + xy' =2y und die Aufabe lautet: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL! Und die Lösung ist durch eine Probe zu bestätigen! Danke für Eure Hilfe Gruss
08.01.2005, 15:09	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Teile erstmal durch x $\begin{eqnarray} x^2y + y' = 2\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ jetzt substituiere $\begin{eqnarray} u = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ dann erhälst du eine DGL mit trennbaren Variablen.
08.01.2005, 15:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die DGL ist bereits in der Originalform trennbar.
08.01.2005, 15:14	minerva	Auf diesen Beitrag antworten »
gut... und jetzt mach ich wie weiter? sorry
08.01.2005, 15:14	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Japp, stimmt schon. Aber mit der Substitution sieht es schöner aus Also ohne Substitution. ist hier wirklich nicht notwendig $\begin{eqnarray} x^3y + xy' =2y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xy' =2y - x^3y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xy' =y\left(2 - x^3\right) \end{eqnarray}$ Jetzt einfach Trennung der Veränderlichen.
08.01.2005, 15:56	minerva	Auf diesen Beitrag antworten »
...supi und wie könnte ein möglicher Lösungsweg aussehen? Gruss
Anzeige

08.01.2005, 16:14	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeig's dir mal an einem anderen Beispiel $\begin{eqnarray} xy' + y = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xy' = -y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\frac{\mbox dy}{\mbox dx} = -y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\frac{\mbox dy}{y} = -\int\frac{\mbox dx}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ln\|y\| = \ln\|x\| + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|y\| = e^{\ln\|x\| + C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = c_1x ; c_1 = \pm e^c \end{eqnarray}$ somit ist die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray} y(x) = Cx \end{eqnarray}$ mit dem freien Parameter $\begin{eqnarray} C \in \mathbb R \end{eqnarray}$ (edits: LaTex verbesser)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »