zahlentheorie

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Gustav Auf diesen Beitrag antworten »
zahlentheorie
Bei folgender Aufgabe habe ich Probleme:

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen a und b, für die gilt:


Für a = 1 und b = 1 ist dies ja offensichtlich der Fall, wie könnte ich nun an weitere Lösungen kommen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zahlentheorie
a=16, b=2

a=27, b=3

Weitere Lösungen gibt es nicht. Wenn du wissen willst warum, dann recherchiere mal nach IMO 1997, Aufgabe 5. Augenzwinkern
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hab nur die aufgabe gefunden keine lösungen.
kannst mal nen kleinen ansatz geben?

[kann man das lösen, ohne zahlentheorievorlesungen gehört zu haben]

mfg jochen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einen Weblink, der die Lösung in knapper Form enthält: Sie ist elementar, aber nicht einfach drauf zu kommen!

Willst du den Link haben, oder doch nur den Ansatz zum Selberprobieren? Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, wie gesagt ich berufe mich auf keinerlei zahlentheoretische erfahrungen der art......
also wenn man dafür irgendwelche speziellen tricks braucht, will ich den link (ob ich den dann verstehe wird sich zeigen)....
sonst nehme ich gerne mal den ansatz Augenzwinkern

mfg jochen
AD Auf diesen Beitrag antworten »
Imo
(Mehr oder weniger) alle IMO-Probleme bis einschließlich 2003:
http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html

IMO 1997/5:
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln975.html
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay grad noch mit dem englisch muss ich mir das mal in ruhe anguggen.
danke erstmal! klingt ja ganz interessant aufs erste durchlesen...


edit:
okay also der anfang ist mit bissel schmierpapier klar...
Zitat:
Notice first that if we have am = bn, then we must have a = ce, b = cf, for some c, where m=fd, n=ed and d is the greatest common divisor of m and n. [Proof: express a and b as products of primes in the usual way.]

In this case let d be the greatest common divisor of a and b2, and put a = de, b2 = df.

danach:
Zitat:
Then for some c, a = ce, b = cf

hmm, ja weil a und b ja die basen der gesuchten potenzen sind...
doch jetzt versteh ichs nicht ganz:

Zitat:
Hence


ich rechne so:

das sieht ähnlichn ihrer fassung aus aber eben e hoch, und f hoch... nicht mit mal?
wer kann helfen?

mfg jochen


ohje LaTeX...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich habs mal als richtig angesehen und mal weitergeguckt.
geht ja recht interessant weiter....

Zitat:
We cannot have e = 2f, for then the c's cancel to give e = f. Contradiction.

klar!

Zitat:
Suppose 2f > e, then . Hence e = 1 and f = c2f-1.

okay umgeformt.... kann ich einfach oBdA e=1 wählen?! wieso?
[ich fürchte die frage ist leicht, aber ich sehs grad nicht, das englisch verwirrt mich]

[/quote]If c = 1, then f = 1 and we have the solution a = b = 1.[/quote]
okay klar, nachrechnen, f=1....

Zitat:
If c e 2, then , so there are no solutions.

okay, da wolte ich bis eben auch nachfragen, aber bissl genauer nachdenken, und da ist mir jetzt auch klar.

so also diesmal die frage in der mitte.....

mfg jochen
edit1: LaTeXCode korrigiert
edit2: 1x mfg jochen reicht ja wohl Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sorry wegen dreifachpost, aber ich denke dann bleibts übersichtlich, insbesondere auch hinsichtlich meiner fragen......
wenns nicht genehm ist, dann scheltet mich Forum Kloppe .


nagut, dann will ich also auch das (zunächst!) mal hinnehmen und mich noch dem rest widmen:

Zitat:
Finally, suppose 2f < e. Then . Hence f = 1 and .

s.o. gleiche frage

Zitat:
for e e 5, so we must have e = 3 or 4 (e > 2f = 2). e = 3 gives the solution a = 27, b = 3. e = 4 gives the solution a = 16, b = 2.


frage: was ist mit dem fall c=1, für den erste ungleichung nicht stimmt?!
weitehin (c>=2): damit c^(e-2) nicht größer ist als e muss e kleiner 5 sein, gleichzeitg aber noch größer als 2f wegen der annahme.
die beiden möglichkeiten führen dann zu lösungen, die [und jetzt kommt wohl ne ganz dumme frage, dies aber gar nicht gibt offiziell] weshalb eindeutig sind?! kann das nicht noch vom d abhängen? verwirrt

mfg jochen


edit 1 und 2: latexfehler und so
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich oben bereits erwähnte, Lösung in "knapper Form" (die wollten wohl Platz sparen Big Laugh ).

Zunächst setzen die ja a=de und b²=df mit teilerfremden e,f an.

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Suppose 2f > e, then . Hence e = 1 and f = c2f-1.

okay umgeformt.... kann ich einfach oBdA e=1 wählen?! wieso?


Aus (mit 2f>e) folgt unmittelbar, dass e ein Teiler von f sein muss. Andererseits sind beide aber teilerfremd - da bleibt nur die Variante e=1.

Und so geht das dort weiter, inklusive einiger Abschätzungen der Art 2^{n-x}>n für n>n_0(x) u.ä., deren Beweis natürlich weggelassen wird (über solche "primitiven" Induktionsbeweise verliert man da halt kein Wort... Big Laugh ).
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

oh klar..... weil d ja der ggT ist, sind e und f teilerfremd..... das hatte ich übersehen..... und das das dann folgt ist wenn dus sagst logisch.... danke.....

mfg jochen

die induktionen habe ich mal stillschweigend hingenommen, ohne sie alle nachzuprüfen *zugeb*
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es dich tröstet - das war damals zumindest für's deutsche Team die zweitschwerste Aufgabe dieser IMO:

http://www.mathematik-olympiaden.de/IMOs/imo97.htm

Sieht harmlos aus, hat's aber in sich.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jo so von mir aus wäre ich nicht mal annähend auf die lösung gekommen......
magst du mir auch noch meine fragen aus dem 3. post beantworten?!

mfg jochen

und vielen vielen dank für die hilfe!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
magst du mir auch noch meine fragen aus dem 3. post beantworten?!


Wenn du das nochmal zusammenstellst - ich blick nicht mehr so richtig durch, welche Fragen du meinst. unglücklich

Außerdem scheinen beim Kopieren von der Website die ² und Ungleichheitszeichen zu verschwinden - das erschwert die Sache zusätzlich.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ohje, ich dachte, ich hätte alle velorenen hoch-zeichen durch LaTeXCode ersetzt...... wo fehlt denn noch was....?


die ungleichung c^(e-2)>=2^(e-2)>=e ist eindeutig für c=1 falsch.... was ..... ne moment ich sehe grad, dann wäre ja e=1 und das ist ja wieder ein widerspruch wegen e<2f.....
okay hat sich beim tippen grad eledigt Augenzwinkern .

aber 2. frage bleibt...
es gibt zuletzt nur 2 möglichkeiten für e, nämlich e=3 und e=4 (klar).
dazu finden sie jeweils eine lösung..... wieso kann es zu e=3 (bzw. e=4) nicht mehrere lösungen geben, da doch a und b noch vom d abhängen?!
wie bereits oben erwähnt, vermute ich das ist relativ leicht zu beantworten, aber ich sehs grad nicht.....

mfg jochen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwo oben steht a = de = c^e und b² = df, b = c^f. Wegen f=1 wird aus letzterem b² = d und b = c, also d = c².

e=3 ergibt: a = 3d = c^3 und somit 3d = 3c² = c^3 ergibt c=3 und die Lösung (27,3)

e=4 ergibt: a = 4d = c^4 und somit 4d = 4c² = c^4 ergibt c²=4, also c=2 und die Lösung (16,2)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich gebe mich geschlagen, da habe ich tatsächlich nicht weit genug geschaut......

also ich denke, den beweis verstanden habe ich...... danke und gute nacht!
danke auch an gustav für das anregende thema!

jochen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
danke auch an gustav für das anregende thema!


Der wird sich morgen (oder noch später) darüber wundern, was hier für zwei Verrückte am Werk waren. Big Laugh

Gute Nacht.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
doch jetzt versteh ichs nicht ganz:

Zitat:
Hence


ich rechne so:

das sieht ähnlichn ihrer fassung aus aber eben e hoch, und f hoch... nicht mit mal?
wer kann helfen?


hehe, zu später stunde merke ich, da ist ja doch noch eine frage unbeantwortet..... (sicher nur potenzen-verformungen...)
darf ich noch mal so unverschämt sein und nachhaken, arthur?! Augenzwinkern

mfg jochen



edit: ich hoffe, die frage ist jetzt nicht zu sehr aus dem zusammenhang gerissen geschockt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sonntagmorgen mal nachschauen, ob's noch ein Problemchen gibt - tatsächlich. Augenzwinkern

Du meinst vermutlich den Nachweis von :

a=c^e und b=c^f eingesetzt sowohl in Basis als auch Exponent von a^{b^2}=b^a ergibt links
,
das gleiche Spiel rechts
.

Und jetzt Exponentenvergleich - ist eigentlich nur für c>1 zulässig, aber dieser Trivialfall führt eh nur auf a=b=1. Aber zugegeben, das haben die da wirklich etwas schlampig aufgeschrieben, denn an der Stelle ist c=1 noch erlaubt (wie man in der nächsten Zeile sieht) - den Beweis kippt das aber nicht: Man kann ja c=1 getrennt untersuchen und ab der Stelle c>1 fordern.


EDIT: Hab mir grade nochmal deine Fassung genauer angesehen... vielleicht sollte man sich 3:06 nicht mehr mit den Potenzgesetzen anlegen. Teufel

Nichts für ungut, bei den ständigen übereinandergeschachtelten Potenzen kann einem schon mal der Kopf rauchen. Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen, arthur,

da scheine ja ich tatsächlich nur klammern in der basis im 2. schritt vergessen zu haben, die dann wiederum zu unterschiedlicher auflösungsreihenfolge der potenzen führen..... a^(b^c) ist eben i.A. nicht (a^b)^c........
also ich weiß schon, woran, selbst bei richtigem ansatz solche aufgaben bei mir scheitern könnten (und würden)..... Augenzwinkern
danke, das du dich meiner angenommen hast!

mfg jochen
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